58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T888,Система неравенств рассматривается для $x\in [3;4]$. 1. $ax\geqslant 2$. При $x>0$ это равносильно $a\geqslant\dfrac{2}{x}$. Для существования $x\in[3;4]$ необходимо $a>0$, и достаточно $a\geqslant\dfrac{1}{2}$ (поскольку минимальное $\dfrac{2}{x}$ на $[3;4]$ равно $\dfrac{1}{2}$ при $x=4$). 2. $\sqrt{x-1} > a$. Максимум $\sqrt{x-1}$ на $[3;4]$ равен $\sqrt{3}$, поэтому необходимо $a < \sqrt{3}$. 3. $3x\leqslant 2a+11\Rightarrow a\geqslant\dfrac{3x-11}{2}$. Минимум правой части на $[3;4]$ равен $-1$, поэтому условие $a\geqslant -1$ автоматически выполняется при $a\geqslant\dfrac{1}{2}$. Теперь ищем условия совместности. Перепишем систему относительно $x$: \[ x\geqslant\frac{2}{a},\quad x > a^2+1,\quad x\leqslant\frac{2a+11}{3},\quad x\in[3;4]. \] При $a\geqslant\dfrac{1}{2}$ имеем $\dfrac{2a+11}{3}\geqslant 4$, поэтому третье неравенство даёт $x\leqslant 4$. Рассмотрим два случая. - Если $a^2+1\leqslant 3$ (т.е. $a\leqslant\sqrt{2}$), то условие $x > a^2+1$ не сужает отрезок $[3;4]$ снизу, кроме требования $x\geqslant\max(3, \dfrac{2}{a})$. При $a\in\left[ \dfrac{1}{2}; \dfrac{2}{3}\right]$ имеем $\dfrac{2}{a}\geqslant 3$, и интервал $\left[ \dfrac{2}{a}; 4\right]$ непуст (включая точку $x=4$). При $a\in\left( \dfrac{2}{3}; \sqrt{2}\right]$ имеем $\max(3, \dfrac{2}{a})=3$, и интервал $[3;4]$ непуст. - Если $a^2+1 > 3$ (т.е. $a > \sqrt{2}$), то нижняя граница: $x > a^2+1$. Чтобы существовало $x\leqslant 4$, нужно $a^2+1 < 4\Rightarrow a < \sqrt{3}$. Объединяя, получаем $a\in\left[ \dfrac{1}{2}; \sqrt{3}\right)$. Ответ: $a\in\left[ \dfrac{1}{2}; \sqrt{3}\right)$5c:T682,Рассмотрим систему неравенств: 1. $x\ge 2a$, 2. $6x > x^2 + a^2$, преобразуем второе неравенство: \[ 6x > x^2 + a^2\Leftrightarrow x^2 - 6x + a^2 < 0\Leftrightarrow x\in\big(3-\sqrt{9-a^2}; 3+\sqrt{9-a^2}\big) \text{ при } |a| \le 3, \] 3. $x\le 6-a$. Множество решений системы — пересечение $x\in [2a; 6-a] \cap\big(3-\sqrt{9-a^2}; 3+\sqrt{9-a^2}\big)$. Требуется, чтобы это пересечение содержало хотя бы одну точку отрезка $[4; 5]$. Обозначим $I = [4; 5] \cap [2a; 6-a]$. Множество $I$ непусто при $a\le 2$, причём: - если $a\le 1$, то $I = [4; 5]$; - если $1 < a\le 2$, то $I = [4; 6-a]$. Далее, необходимо и достаточно, чтобы интервал $\big(3-\sqrt{9-a^2}; 3+\sqrt{9-a^2}\big)$ пересекался с $I$. При $a\le 1$ условие сводится к \[ 3+\sqrt{9-a^2} > 4\Leftrightarrow a^2 < 8. \] Учитывая $a\le 1$, получаем $-\sqrt{8} < a\le 1$. При $1 < a\le 2$ автоматически выполняется $3+\sqrt{9-a^2} > 4$ (поскольку $a^2\le 4 < 8$), а также $3-\sqrt{9-a^2} < 6-a$ (так как при $1 < a\le 2$ правая часть $a-3$ отрицательна). Следовательно, пересечение есть всегда. Таким образом, система имеет решение на $[4; 5]$ при $a\in (-\sqrt{8}; 2]$. Ответ: $a\in (-\sqrt{8}; 2]$5d:T8c0,Преобразуем подкоренное выражение: \[ ax + x - x^{2} - a = a(x - 1) - x(x - 1) = (x - 1)(a - x). \] Исходное неравенство принимает вид $ (x + 2)\sqrt{(x - 1)(a - x)} \geqslant 0 $ и равносильно совокупности \[ \left[ \begin{gathered} (x - 1)(a - x) = 0, \\ \begin{cases} (x - 1)(a - x) > 0, \\ x + 2 \geqslant 0; \end{cases} \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1, \\ x = a, \\ \begin{cases} (x - 1)(a - x) > 0, \\ x \geqslant -2. \end{cases} \end{gathered} \right. \] Изобразим в плоскости $ (x; a) $ множество решений: оно состоит из прямых $ a = x $, $ x = 1 $ и областей, где $ (x - 1)(a - x) > 0 $ при $ x \geqslant -2 $. 1. Случай $ a > 1 $: множество решений по $ x $ есть отрезок $ [1; a] $ (внутри которого $ (x-1)(a-x) > 0 $, плюс концы, где радикал нулевой). Длина отрезка $ a - 1 $. Для существования двух решений с разностью $ 4 $ необходимо $ a - 1 \geqslant 4 $, то есть $ a \geqslant 5 $. 2. Случай $ -2 \leqslant a \leqslant 1 $: множество решений — отрезок $ [a; 1] $ длины $ 1 - a \leqslant 3 < 4 $. Двух чисел с разностью $ 4 $ не найдётся. 3. Случай $ a < -2 $: множество решений представляет собой объединение $ \{a\} \cup [-2; 1] $ (точка $ x = a $, где радикал нулевой, плюс часть отрезка с $ x \geqslant -2 $). Внутри $ [-2; 1] $ максимальная разность $ 3 < 4 $, поэтому требуется пара $ (a; x_{0}) $ с $ x_{0} \in [-2; 1] $ и $ x_{0} - a = 4 $. Тогда $ x_{0} = a + 4 \in [-2; 1] \Leftrightarrow -6 \leqslant a \leqslant -3 $. С учётом $ a < -2 $ получаем $ a \in [-6; -3] $. Объединяя случаи: $ a \in [-6; -3] \cup [5; +\infty) $. Ответ: $ a \in [-6; -3] \cup [5; +\infty) $.5e:T992,Рассмотрим неравенство \[ \dfrac{(x-2)\ln\dfrac{4+x-a}{3}}{\sqrt{6-x}} \leqslant 0. \] ОДЗ. Под корнем должна быть положительная величина, и знаменатель не равен нулю: $ 6 - x > 0 $, то есть $ x < 6 $. Также $ \dfrac{4+x-a}{3} > 0 $, то есть $ x > a - 4 $. Итого: \[ x \in (a-4;\ 6). \] Знаменатель $ \sqrt{6-x} > 0 $ — на знак не влияет. Числитель $ (x-2)\ln\dfrac{4+x-a}{3} $ обращается в $ 0 $ при $ x = 2 $ и при $ x = a - 1 $ (тогда $ \ln 1 = 0 $). Знак $ \ln\dfrac{4+x-a}{3} $: положителен при $ x > a - 1 $, отрицателен при $ a - 4 < x < a - 1 $. Случай 1: $ a > 3 $ (тогда $ a - 1 > 2 $). Знаки по интервалам: 1. $ (a-4;\ 2) $: $ (x-2) < 0 $, $ \ln < 0 $. Числитель $ > 0 $. 2. $ (2;\ a-1) $: $ (x-2) > 0 $, $ \ln < 0 $. Числитель $ < 0 $. 3. $ (a-1;\ 6) $: оба $ > 0 $. Числитель $ > 0 $. Решение неравенства $ \leqslant 0 $: $ x \in [2;\ a-1] $. Длина равна $ a - 3 $. Из условия длина $ = 1 $ получаем $ a = 4 $. Проверка: $ [2;\ 3] \subset (0;\ 6) $ — верно. Случай 2: $ a < 3 $ (тогда $ a - 1 < 2 $). Знаки по интервалам: 1. $ (a-4;\ a-1) $: оба $ < 0 $. Числитель $ > 0 $. 2. $ (a-1;\ 2) $: $ (x-2) < 0 $, $ \ln > 0 $. Числитель $ < 0 $. 3. $ (2;\ 6) $: оба $ > 0 $. Числитель $ > 0 $. Решение $ \leqslant 0 $: $ x \in [a-1;\ 2] $. Длина равна $ 3 - a $. Из условия длина $ = 1 $ получаем $ a = 2 $. Проверка: $ [1;\ 2] \subset (-2;\ 6) $ — верно. Случай 3: $ a = 3 $. Тогда $ a - 1 = 2 $, единственный корень $ x = 2 $, решение — точка, не отрезок длины 1. Случаи $ a \geqslant 6 $ или $ a \leqslant -3 $ (когда часть критических точек выходит за ОДЗ): решением становится либо полуоткрытый интервал (не отрезок), либо отрезок длины, отличной от 1. Ответ: $ a = 2 $ и $ a = 4 $.5f:Tfbe,ОДЗ: $ x \geqslant a - 1 $ (из условия существования корня $ \sqrt{x - a + 1} $); $ x^2 + a^2 > 0 $ (выполнено всегда, кроме случая $ a = x = 0 $). Рассмотрим неравенство \[ \ln(x^2 + a^2) \cdot (x^2 - a - 1) \cdot \sqrt{x - a + 1} \leqslant 0. \] 1. При $ x = a - 1 $ третий множитель равен $ 0 $, и неравенство обращается в верное равенство. Проверим условие $ x^2 + a^2 > 0 $: \[ (a - 1)^2 + a^2 = 2a^2 - 2a + 1. \] Дискриминант этого квадратного трёхчлена $ D = 4 - 8 = -4 < 0 $, значит, выражение всегда положительно. Следовательно, $ x = a - 1 $ является решением при любом значении $ a $. 2. При $ x > a - 1 $ множитель $ \sqrt{x - a + 1} > 0 $, поэтому исходное неравенство равносильно следующему: \[ \ln(x^2 + a^2) \cdot (x^2 - a - 1) \leqslant 0. \] Произведение двух множителей неположительно, если они имеют разные знаки или хотя бы один из них равен нулю: - $ \ln(x^2 + a^2) \leqslant 0 \Leftrightarrow x^2 + a^2 \leqslant 1 $ (точки внутри и на границе круга); - $ x^2 - a - 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow x^2 \leqslant a + 1 $ (точки под и на границе параболы). Рассмотрим возможные случаи для $ x > a - 1 $: Случай A (внутри круга и вне параболы): \[ x^2 + a^2 \leqslant 1, \quad x^2 \geqslant a + 1. \] Для существования таких $ x $ необходимо, чтобы $ a + 1 \leqslant 1 - a^2 \Leftrightarrow a(a + 1) \leqslant 0 $, то есть $ -1 \leqslant a \leqslant 0 $. - При $ a = 0 $: $ x^2 \in [1; 1] \Rightarrow x = \pm 1 $. С учётом ОДЗ $ x > -1 $ получаем решение $ x = 1 $. - При $ a = -1 $: $ x^2 \in [0; 0] \Rightarrow x = 0 $. С учётом ОДЗ $ x > -2 $ получаем решение $ x = 0 $. - При $ -1 < a < 0 $: система задаёт невырожденные области, что даёт бесконечно много решений. Случай B (вне круга и внутри параболы): \[ x^2 + a^2 \geqslant 1, \quad x^2 \leqslant a + 1. \] - При $ a = -1 $: $ x^2 \leqslant 0 \Rightarrow x = 0 $. - При $ a = 0 $: $ x^2 \in [1; 1] \Rightarrow x = \pm 1 $. - При $ 0 < a < 1 $: получается два невырожденных интервала (бесконечно много решений). - При $ 1 \leqslant a < 3 $: с учётом ОДЗ $ x \geqslant a - 1 $ получаем отрезок $ [a - 1; \sqrt{a + 1}] $ положительной длины. - При $ a = 3 $: $ a - 1 = 2 $ и $ \sqrt{a + 1} = 2 $, отрезок вырождается в точку $ x = 2 $. - При $ a > 3 $: $ a - 1 > \sqrt{a + 1} $, дополнительных решений нет. При $ a < -1 $: выражение $ x^2 - a - 1 > 0 $ при всех $ x $, а $ \ln(x^2 + a^2) > \ln a^2 \geqslant 0 $. Таким образом, при $ x > a - 1 $ решений нет. Сводка числа решений: 1. $ a < -1 $: одно решение ($ x = a - 1 $). 2. $ a = -1 $: два решения ($ x = -2 $ и $ x = 0 $). 3. $ -1 < a < 0 $: бесконечно много решений. 4. $ a = 0 $: два решения ($ x = -1 $ и $ x = 1 $). 5. $ 0 < a < 3 $: бесконечно много решений. 6. $ a = 3 $: одно решение ($ x = 2 $). 7. $ a > 3 $: одно решение ($ x = a - 1 $). Ответ: $ a \in (-\infty; -1] \cup \{0\} \cup [3; +\infty) $.60:Td2e,Обозначим $ f_1(x) = \dfrac{12x + 11}{4x + 3} $ и $ f_2(x) = -8x^2 - 30x - 17 $. Нужно найти пары $ (a; b) $ такие, что на промежутке $ \left[ -\dfrac{11}{4}; -\dfrac{3}{4} \right) $ выполнено условие $ f_1(x) \leqslant ax + b \leqslant f_2(x) $. Рассмотрим функцию $ f_1(x) $: \[ f_1(x) = 3 + \frac{2}{4x + 3}. \] На промежутке $ x \in \left[ -\dfrac{11}{4}; -\dfrac{3}{4} \right) $ выражение $ 4x + 3 $ принимает значения из полуинтервала $ [-8; 0) $. Следовательно, $ \dfrac{2}{4x + 3} \in \left( -\infty; -\dfrac{1}{4} \right] $, а $ f_1(x) \in \left( -\infty; \dfrac{11}{4} \right] $. Функция $ f_1 $ убывает и выпукла вверх (так как $ f_1'' < 0 $) на этом промежутке. При $ x \to -\dfrac{3}{4}^- $ значение $ f_1(x) \to -\infty $. Рассмотрим функцию $ f_2(x) $. Её графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Вычислим значения в граничных точках: $ f_2\left( -\dfrac{11}{4} \right) = 5 $, $ f_2\left( -\dfrac{3}{4} \right) = 1 $. Функция $ f_2 $ также выпукла вверх. Так как $ f_1 $ выпукла вверх, любая касательная к её графику лежит не ниже самого графика. Возьмём прямую $ y = ax + b $ как касательную к $ f_1 $ в точке $ x_0 \in \left[ -\dfrac{11}{4}; -\dfrac{3}{4} \right) $. Обозначим $ \tau = 4x_0 + 3 \in [-8; 0) $. Тогда: \[ a = -\frac{8}{\tau^2}, \quad b = 3 + \frac{4}{\tau} - \frac{6}{\tau^2}. \] Проверим условие $ ax + b \leqslant f_2(x) $, которое равносильно $ g(x) = 8x^2 + (30 + a)x + (b + 17) \geqslant 0 $ на заданном промежутке. Подставим значения $ a $ и $ b $ через $ \tau $ в граничные условия: 1. В точке $ x = -\dfrac{11}{4} $ после упрощения получаем: \[ \frac{2}{\tau} + \frac{8}{\tau^2} \leqslant 1 \Rightarrow \tau^2 - 2\tau - 8 \geqslant 0. \] Учитывая, что $ \tau < 0 $, это дает $ \tau \leqslant -2 $. 2. При $ x \to -\dfrac{3}{4}^- $ условие $ g(x) \geqslant 0 $ дает: \[ \frac{16}{\tau} \leqslant -8 \Rightarrow \tau \geqslant -2. \] Из пересечения условий получаем $ \tau = -2 $, что соответствует точке касания $ x_0 = -\dfrac{5}{4} $. Тогда параметры прямой равны: \[ a = -\frac{8}{4} = -2, \quad b = 3 + \frac{4}{-2} - \frac{6}{4} = 3 - 2 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}. \] Проверка: - Прямая $ y = -2x - \dfrac{1}{2} $ удовлетворяет условию $ ax + b \leqslant f_2(x) $, так как $ 16x^2 + 56x + 33 \leqslant 0 $ выполняется для $ x \in \left[ -\dfrac{11}{4}; -\dfrac{3}{4} \right] $. - Условие $ ax + b \geqslant f_1(x) $ при $ 4x + 3 < 0 $ сводится к $ (4x + 5)^2 \geqslant 0 $, что верно всегда. Ответ: $ \left( -2; -\dfrac{1}{2} \right) $.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Задачи по теме «Неравенства с параметром» — ЕГЭ профильный\",\"description\":\"Подборка задач ЕГЭ профильный уровень по теме «Неравенства с параметром». Включает 8 задач разной сложности. Подходит для целенаправленной отработки конкретного навыка перед экзаменом. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/ege-prof/collections/topic-neravenstva-s-parametrom-18-prof\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-08-31T10:38:35.804Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Математика (профиль) ЕГЭ\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/ege-prof\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/ege-prof/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Задачи по теме «Неравенства с параметром» — ЕГЭ профильный\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","Математика (профиль) ЕГЭ-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/ege-prof","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика (профиль) ЕГЭ"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/ege-prof/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Задачи по теме «Неравенства с параметром» — ЕГЭ профильный-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Задачи по теме «Неравенства с параметром» — ЕГЭ профильный"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"ege-prof","collectionId":"topic-neravenstva-s-parametrom-18-prof","serverCollection":{"id":"52e87a89-8422-4a6d-be3a-94666839cbef","name":"Задачи по теме «Неравенства с параметром» — ЕГЭ профильный","code":"topic-neravenstva-s-parametrom-18-prof","collection_type":"system_topic","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","exam_code":"ege-prof","metadata":{"axis":"topic","description":"Подборка задач ЕГЭ профильный уровень по теме «Неравенства с параметром». Включает 8 задач разной сложности. Подходит для целенаправленной отработки конкретного навыка перед экзаменом.","hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"topic_id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","total_problem_count":8,"visible_problem_count":8},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"768723cd-7a0e-40c9-9252-1c2f7a25daad","collection_id":"52e87a89-8422-4a6d-be3a-94666839cbef","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"768723cd-7a0e-40c9-9252-1c2f7a25daad","short_id":15394,"task_number":19,"topic_id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":7,"content_text":"Найдите все значения \$a\$, при каждом из которых система неравенств\n\n\\[\n\\begin{cases}\na(x - 1) \\geqslant 4 \\\\[2pt]\n2\\sqrt{x - 2}\\geqslant a \\\\[2pt]\n3x < a + 14\n\\end{cases}\n\\]\n\nимеет хотя бы одно решение на отрезке \$[4; 5]\$.","answer_text":"\$a\\in (1, 2\\sqrt{3}]\$","answer":"\$a\\in (1, 2\\sqrt{3}]\$","solution_text":"Система имеет решение на отрезке \$x\\in [4; 5]\$ только при \$a > 0\$.\n\nПерепишем неравенства как условия на \$x\$:\n\n\$x \\geqslant 1 + \\dfrac{4}{a}\$,\n\n\$x \\geqslant 2 + \\dfrac{a^2}{4}\$,\n\n\$x < \\dfrac{a+14}{3}\$.\n\nОбозначим \$L = \\max\\left(1+\\dfrac{4}{a}, 2+\\dfrac{a^2}{4}\\right)\$, \$R = \\dfrac{a+14}{3}\$. Решение существует, если отрезок \$[4; 5]\$ пересекается с \$[L; R)\$.\n\nПри \$0 < a < 2\$: \$L = 1+\\dfrac{4}{a}\$. Условие \$L \\leqslant 5\$ дает \$a \\geqslant 1\$. При \$a=1\$: \$L=5\$, \$R=5\$, но неравенство \$x < R\$ строгое, так что нет решений. При \$1 < a < 2\$: \$L < 5\$, \$R > 5\$, следовательно, \$x=5\$ подходит.\n\nПри \$a \\geqslant 2\$: \$L = 2+\\dfrac{a^2}{4}\$. Условие \$L \\leqslant 5\$ дает \$a \\leqslant 2\\sqrt{3}\$. При \$a = 2\\sqrt{3}\$: \$L=5\$, \$R > 5\$, \$x=5\$ подходит. При \$2 \\leqslant a < 2\\sqrt{3}\$: \$L < 5\$, \$R > 5\$, решение есть.\n\nТаким образом, система имеет хотя бы одно решение при \$1 < a \\leqslant 2\\sqrt{3}\$.\n\nОтвет: \$a\\in (1; 2\\sqrt{3}]\$.","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"image_status":"not_needed","quality_status":"verified","tools_applied":{"classify":"2026-02-26T21:05:14Z","format_content":"2026-02-25T15:54:32Z","format_latex":"2026-02-25T21:21:37Z"},"verified":true,"verified_at":"2026-02-26T09:04:57Z"},"created_at":"2025-11-20T18:31:14.001411Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","name":"Неравенства с параметром","description":null},"tags":[{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"}]}},{"problem_id":"1b3ea4b5-5d37-4ad4-9338-e8e8decb56be","collection_id":"52e87a89-8422-4a6d-be3a-94666839cbef","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"1b3ea4b5-5d37-4ad4-9338-e8e8decb56be","short_id":15359,"task_number":19,"topic_id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":8,"content_text":"Найдите все значения \$a\$, при каждом из которых система неравенств\n\n\\[\n\\begin{cases}\nx\\leqslant 2a + 6 \\\\[2pt]\n6x\\geqslant x^2 + a^2 \\\\[2pt]\nx + a > 0\n\\end{cases}\n\\]\n\nимеет хотя бы одно решение на отрезке \$[1; 2]\$.","answer_text":"\$a\\in (-2; 2\\sqrt{2}]\$","answer":"\$a\\in (-2; 2\\sqrt{2}]\$","solution_text":"Система равносильна:\n\n\\[\n\\begin{cases}\nx\\leqslant 2a+6, \\\\\nx^2 - 6x + a^2\\leqslant 0, \\\\\nx > -a,\n\\end{cases}\n\\quad x\\in [1;2].\n\\]\n\nВторое неравенство: \$x\\in\\left[3-\\sqrt{9-a^2}; 3+\\sqrt{9-a^2}\\right]\$ при \$|a| \\leqslant 3\$.\n\nНеобходимые условия: \$|a| \\leqslant 2\\sqrt{2}\$ (чтобы отрезок пересекался с \$[1;2]\$) и \$a > -2\$ (чтобы \$-a < 2\$).\n\nРассматриваем два случая:\n1. \$\\max(1, 3-\\sqrt{9-a^2}) \\geqslant -a\$. Тогда нужно \$\\max(1, 3-\\sqrt{9-a^2}) \\leqslant\\min(2, 2a+6)\$. При \$a\\geqslant -1\$ это выполняется.\n2. \$\\max(1, 3-\\sqrt{9-a^2}) < -a\$. Это возможно при \$a\\in (-2; -1)\$, условие \$-a < \\min(2, 2a+6)=2\$ выполнено.\n\nОбъединяя с учётом \$|a| \\leqslant 2\\sqrt{2}\$, получаем интервал.","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"image_status":"not_needed","quality_status":"verified","tools_applied":{"classify":"2026-02-26T21:07:13Z","format_content":"2026-02-25T15:21:19Z","format_latex":"2026-02-25T21:21:30Z"},"verified":true,"verified_at":"2026-02-26T09:04:57Z"},"created_at":"2025-11-20T18:31:14.001411Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","name":"Неравенства с параметром","description":null},"tags":[{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"},{"id":"e1dbe110-947f-495d-bf9a-7c888ae3120f","code":"tag-218","name":"Параметры расстояние между точками"}]}},{"problem_id":"a4ae542b-08f1-4407-8495-9afcfb2064cb","collection_id":"52e87a89-8422-4a6d-be3a-94666839cbef","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"a4ae542b-08f1-4407-8495-9afcfb2064cb","short_id":15412,"task_number":19,"topic_id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":8,"content_text":"Найдите все значения \$a\$, при каждом из которых система неравенств\n\n\\[\n\\begin{cases}\nax\\geqslant 2 \\\\[2pt]\n\\sqrt{x - 1} > a \\\\[2pt]\n3x\\leqslant 2a + 11\n\\end{cases}\n\\]\n\nимеет хотя бы одно решение на отрезке \$[3; 4]\$.","answer_text":"\$a\\in\\left[\\dfrac{1}{2}, \\sqrt{3}\\right)\$","answer":"\$a\\in\\left[\\dfrac{1}{2}, \\sqrt{3}\\right)\$","solution_text":"$5b","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"image_status":"not_needed","quality_status":"verified","tools_applied":{"classify":"2026-02-26T21:05:36Z","format_content":"2026-02-25T16:07:02Z","format_latex":"2026-02-25T21:21:41Z"},"verified":true,"verified_at":"2026-02-26T09:04:57Z"},"created_at":"2025-11-20T18:31:14.001411Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","name":"Неравенства с параметром","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"}]}},{"problem_id":"ab53155a-9372-4f21-bece-26f727d20b8e","collection_id":"52e87a89-8422-4a6d-be3a-94666839cbef","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"ab53155a-9372-4f21-bece-26f727d20b8e","short_id":15415,"task_number":19,"topic_id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":8,"content_text":"Найдите все значения \$a\$, при каждом из которых система неравенств\n\n\\[\n\\begin{cases}\n2a\\leqslant x \\\\[2pt]\n6x > x^2 + a^2 \\\\[2pt]\nx + a\\leqslant 6\n\\end{cases}\n\\]\n\nимеет хотя бы одно решение на отрезке \$[4; 5]\$.","answer_text":"\$-\\sqrt{8} < a\\le 2\\text{ (или } -2\\sqrt{2} < a\\le 2)\$","answer":"\$-\\sqrt{8} < a\\le 2\\text{ (или } -2\\sqrt{2} < a\\le 2)\$","solution_text":"$5c","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"image_status":"not_needed","quality_status":"verified","tools_applied":{"classify":"2026-02-26T21:05:40Z","format_content":"2026-02-25T16:14:01Z","format_latex":"2026-02-25T21:21:41Z"},"verified":true,"verified_at":"2026-02-26T09:04:57Z"},"created_at":"2025-11-20T18:31:14.001411Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","name":"Неравенства с параметром","description":null},"tags":[{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"},{"id":"e1dbe110-947f-495d-bf9a-7c888ae3120f","code":"tag-218","name":"Параметры расстояние между точками"}]}},{"problem_id":"e33e6b85-a13e-4d33-a838-ea701f3e8347","collection_id":"52e87a89-8422-4a6d-be3a-94666839cbef","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"e33e6b85-a13e-4d33-a838-ea701f3e8347","short_id":16529,"task_number":19,"topic_id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":8,"content_text":"Найдите все значения параметра \$ a \$, при каждом из которых среди решений неравенства\n\n\\[\n(x + 2)\\sqrt{ax + x - x^{2} - a} \\geqslant 0\n\\]\n\nнайдутся два числа, разность между которыми равна \$ 4 \$.","answer_text":"$$a \\in [-6;\\ -3] \\cup [5;\\ +\\infty)$","answer":"$$a \\in [-6;\\ -3] \\cup [5;\\ +\\infty)$","solution_text":"$5d","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"answer_confidence":"high","condition_confidence":"high","condition_source":"larin-pdf","external_id":"larin-trvar-2025-V500-T18","is_legacy":false,"original_content_text":"Найдите все значения параметра a , при каждом из которых среди решений\nнеравенства \n\n0\n2\n2\n\n\n\n\n\na\nx\nx\nax\nx\nнайдутся два числа, разность между\nкоторыми равна 4.","pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2025/trvar500.pdf","position_in_pdf":18,"solution_confidence":"high","solution_source":"larin-forum","source":"larin-trvar","source_post_indices":"[4, 5, 6, 8, 12, 13]","task_number_hint":18,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:59:52Z","format_content":"2026-05-17T06:52:37Z","subagent_extract":"2026-05-15T20:38:54Z"},"variant_num":500,"year":2025},"created_at":"2026-05-23T13:58:14.471913Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","name":"Неравенства с параметром","description":null},"tags":[{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"}]}},{"problem_id":"538c0f48-ac99-425b-87cd-d22cc04fbda7","collection_id":"52e87a89-8422-4a6d-be3a-94666839cbef","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"538c0f48-ac99-425b-87cd-d22cc04fbda7","short_id":16567,"task_number":19,"topic_id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":8,"content_text":"Найдите все значения параметра \$ a \$, при каждом из которых решением неравенства\n\n\\[\n\\dfrac{(x-2)\\cdot\\ln\\!\\left(\\dfrac{4+x-a}{3}\\right)}{\\sqrt{6-x}} \\leqslant 0\n\\]\n\nявляется отрезок длиной 1.","answer_text":"a = 2; a = 4","answer":"a = 2; a = 4","solution_text":"$5e","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"answer_source":"llm-generated","external_id":"larin-trvar-2025-V504-T18","fill_notes":"current_answer пустой — записан собственный ответ.","is_legacy":false,"pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2025/trvar504.pdf","position_in_pdf":18,"pre_layout_content":"Найдите все значения параметра a , при каждом из которых решением\nнеравенства\n0\n6\n3\n4\nln\n)\n2\n(\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\na\nx\nx\nявляется отрезок длиной 1.","solution_confidence":"high","solution_source":"llm-generated","source":"larin-trvar","task_number_hint":18,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:49:43Z","fill_solutions":"2026-05-16T07:25:45Z","fix_layout":"2026-05-16 08:15:14","format_content":"2026-05-16T10:11:45Z"},"variant_num":504,"year":2025},"created_at":"2026-05-23T13:58:37.360926Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","name":"Неравенства с параметром","description":null},"tags":[{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"c8cd9c24-fac7-48ab-b79b-6c5fbd73b985","code":"tag-189","name":"Логарифмические уравнения"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"}]}},{"problem_id":"4cc5bc80-39d5-4f58-b136-0c336bcfddd0","collection_id":"52e87a89-8422-4a6d-be3a-94666839cbef","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"4cc5bc80-39d5-4f58-b136-0c336bcfddd0","short_id":16973,"task_number":19,"topic_id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":9,"content_text":"Найдите все значения параметра \$ a \$, при каждом из которых неравенство\n\$ \\ln(x^2 + a^2) \\cdot (x^2 - a - 1) \\cdot \\sqrt{x - a + 1} \\leqslant 0 \$\nимеет ровно одно или два решения.","answer_text":"a ∈ (-∞; -1] ∪ {0} ∪ [3; +∞)","answer":"a ∈ (-∞; -1] ∪ {0} ∪ [3; +∞)","solution_text":"$5f","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"answer_source":"llm-generated","fill_notes":"Сложный разбор случаев — рекомендую перепроверку. В частности, граница a=-1: множество {-2; 0} — два решения. Граница a=0: {-1; 1} — два решения. Граница a=3: {2} — одно решение.","pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar522.pdf","solution_confidence":"medium","solution_source":"llm-generated","source":"larin-trvar","suffix":"1","task_number_hint":18,"task_position":18,"tools_applied":{"classify":"2026-05-11T08:41:12Z","fill_solutions":"2026-05-15T20:44:39Z","format_content":"2026-05-17T07:03:50Z","multiversion_split":"2026-05-10T12:02:27Z"},"variant_label":"А. Ларин, вариант №522.1 (2026)","variant_num":522,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:02:27.340546Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","name":"Неравенства с параметром","description":null},"tags":[{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"}]}},{"problem_id":"fc05beb9-1f81-4875-8b9a-938c1845f5ef","collection_id":"52e87a89-8422-4a6d-be3a-94666839cbef","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","updated_at":"2026-08-31T10:38:35.80469Z","problem":{"id":"fc05beb9-1f81-4875-8b9a-938c1845f5ef","short_id":17238,"task_number":19,"topic_id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":9,"content_text":"Найдите все пары чисел \$ (a; b) \$, при которых система неравенств\n\n\\[\n\\begin{cases} ax + b \\geqslant \\dfrac{12x + 11}{4x + 3}, \\\\ ax + b \\leqslant -8x^2 - 30x - 17 \\end{cases}\n\\]\n\nвыполняется для всех \$ x \$ на промежутке \$ \\left[ -\\dfrac{11}{4}; -\\dfrac{3}{4} \\right) \$.","answer_text":"(a; b) = (-2; -0,5)","answer":"(a; b) = (-2; -0,5)","solution_text":"$60","explanation":"","score":4,"part":"2","metadata":{"answer_source":"llm-generated","external_id":"larin-trvar-2026-V528-T18","fill_notes":"Forum пуст. Прямая y=-2x-1/2 проходит через граничные точки (-11/4, 5) и (-3/4, 1) (т.е. соединяет концевые значения параболы) и касается гиперболы во внутренней точке x=-5/4. Единственность доказана через систему ограничений на (a,b).","is_legacy":false,"pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar528.pdf","position_in_pdf":18,"pre_layout_content":"Найдите все пары чисел \n\nb\na;\n, при которых система неравенств\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n17\n30\n8\n3\n4\n11\n12\n2\nx\nx\nb\nax\nx\nx\nb\nax\nвыполняется для всех x на промежутке\n\n\n\n\n\n\n\n4\n3\n;\n4\n11\n.","solution_confidence":"high","solution_source":"llm-generated","source":"larin-trvar","task_number_hint":18,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T20:01:23Z","fill_solutions":"2026-05-16T07:25:45Z","fix_layout":"2026-05-16 08:15:14","format_content":"2026-05-17T06:53:18Z"},"variant_num":528,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:04:53.92215Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a93bb243-96b9-4550-9203-f320347b7913","name":"Неравенства с параметром","description":null},"tags":[{"id":"3d9767c8-9d32-43b3-8f7f-88bb737e56c8","code":"tag-59","name":"Квадратичная функция, её график"},{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]