Найдите все значения параметра a , при каждом из которых неравенство ln(x^2 + a^2) * (x^2 - a - 1) * sqrt(x - a + 1) 0 имеет ровно одно или два решения.

ОДЗ: x a - 1 (из условия существования корня sqrt(x - a + 1) ); x^2 + a^2 > 0 (выполнено всегда, кроме случая a = x = 0 ). Рассмотрим неравенство ln(x^2 + a^2) * (x^2 - a - 1) * sqrt(x - a + 1) 0. 1. При x = a - 1 третий множитель равен 0 , и неравенство обращается в верное равенство. Проверим условие x^2 + a^2 > 0 : (a - 1)^2 + a^2 = 2a^2 - 2a + 1. Дискриминант этого квадратного трёхчлена D = 4 - 8 = -4 < 0 , значит, выражение всегда положительно. Следовательно, x = a - 1 является решением при любом значении a . 2. При x > a - 1 множитель sqrt(x - a + 1) > 0 , поэтому исходное неравенство равносильно следующему: ln(x^2 + a^2) * (x^2 - a - 1) 0. Произведение двух множителей неположительно, если они имеют разные знаки или хотя бы один из них равен нулю: - ln(x^2 + a^2) 0 <=> x^2 + a^2 1 (точки внутри и на границе круга); - x^2 - a - 1 0 <=> x^2 a + 1 (точки под и на границе параболы). Рассмотрим возможные случаи для x > a - 1 : Случай A (внутри круга и вне параболы): x^2 + a^2 1, x^2 a + 1. Для существования таких x необходимо, чтобы a + 1 1 - a^2 <=> a(a + 1) 0 , то есть -1 a 0 . - При a = 0 : x^2 in [1; 1] => x = +- 1 . С учётом ОДЗ x > -1 получаем решение x = 1 . - При a = -1 : x^2 in [0; 0] => x = 0 . С учётом ОДЗ x > -2 получаем решение x = 0 . - При -1 < a < 0 : система задаёт невырожденные области, что даёт бесконечно много решений. Случай B (вне круга и внутри параболы): x^2 + a^2 1, x^2 a + 1. - При a = -1 : x^2 0 => x = 0 . - При a = 0 : x^2 in [1; 1] => x = +- 1 . - При 0 < a < 1 : получается два невырожденных интервала (бесконечно много решений). - При 1 a < 3 : с учётом ОДЗ x a - 1 получаем отрезок [a - 1; sqrt(a + 1)] положительной длины. - При a = 3 : a - 1 = 2 и sqrt(a + 1) = 2 , отрезок вырождается в точку x = 2 . - При a > 3 : a - 1 > sqrt(a + 1) , дополнительных решений нет. При a < -1 : выражение x^2 - a - 1 > 0 при всех x , а ln(x^2 + a^2) > ln a^2 0 . Таким образом, при x > a - 1 решений нет. Сводка числа решений: 1. a < -1 : одно решение ( x = a - 1 ). 2. a = -1 : два решения ( x = -2 и x = 0 ). 3. -1 < a < 0 : бесконечно много решений. 4. a = 0 : два решения ( x = -1 и x = 1 ). 5. 0 < a < 3 : бесконечно много решений. 6. a = 3 : одно решение ( x = 2 ). 7. a > 3 : одно решение ( x = a - 1 ). Ответ: a in (-inf; -1] U 0 U [3; +inf) .

a ∈ (-∞; -1] ∪ {0} ∪ [3; +∞)