Задача №16973

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых неравенство
$\ln (x^2+a^2)\cdot (x^2-a-1)\cdot \sqrt{x-a+1}⩽0$
имеет ровно одно или два решения.

ОДЗ: $x⩾a-1$ (из условия существования корня $\sqrt{x-a+1}$); $x^2+a^2>0$ (выполнено всегда, кроме случая $a=x=0$).

Рассмотрим неравенство

1. При $x=a-1$ третий множитель равен $0\text{,}$ и неравенство обращается в верное равенство. Проверим условие $x^2+a^2>0\text{:}$

Дискриминант этого квадратного трёхчлена $D=4-8=-4<0\text{,}$ значит, выражение всегда положительно. Следовательно, $x=a-1$ является решением при любом значении $a\text{.}$

2. При $x>a-1$ множитель $\sqrt{x-a+1}>0\text{,}$ поэтому исходное неравенство равносильно следующему:

Произведение двух множителей неположительно, если они имеют разные знаки или хотя бы один из них равен нулю:

• $\ln (x^2+a^2)⩽0\iff x^2+a^2⩽1$ (точки внутри и на границе круга);
• $x^2-a-1⩽0\iff x^2⩽a+1$ (точки под и на границе параболы).

Рассмотрим возможные случаи для $x>a-1\text{:}$

Случай A (внутри круга и вне параболы):

Для существования таких $x$ необходимо, чтобы $a+1⩽1-a^2\iff a(a+1)⩽0\text{,}$ то есть $-1⩽a⩽0\text{.}$

• При $a=0\text{:}$ $x^2\in [1;1]\Rightarrow x=\pm 1\text{.}$ С учётом ОДЗ $x>-1$ получаем решение $x=1\text{.}$
• При $a=-1\text{:}$ $x^2\in [0;0]\Rightarrow x=0\text{.}$ С учётом ОДЗ $x>-2$ получаем решение $x=0\text{.}$
• При $-1<a<0\text{:}$ система задаёт невырожденные области, что даёт бесконечно много решений.

Случай B (вне круга и внутри параболы):

• При $a=-1\text{:}$ $x^2⩽0\Rightarrow x=0\text{.}$
• При $a=0\text{:}$ $x^2\in [1;1]\Rightarrow x=\pm 1\text{.}$
• При $0<a<1\text{:}$ получается два невырожденных интервала (бесконечно много решений).
• При $1⩽a<3\text{:}$ с учётом ОДЗ $x⩾a-1$ получаем отрезок $[a-1;\sqrt{a+1}]$ положительной длины.
• При $a=3\text{:}$ $a-1=2$ и $\sqrt{a+1}=2\text{,}$ отрезок вырождается в точку $x=2\text{.}$
• При $a>3\text{:}$ $a-1>\sqrt{a+1}\text{,}$ дополнительных решений нет.

При $a<-1\text{:}$ выражение $x^2-a-1>0$ при всех $x\text{,}$ а $\ln (x^2+a^2)>\ln a^2⩾0\text{.}$ Таким образом, при $x>a-1$ решений нет.

Сводка числа решений:
1. $a<-1\text{:}$ одно решение ($x=a-1$).
2. $a=-1\text{:}$ два решения ($x=-2$ и $x=0$).
3. $-1<a<0\text{:}$ бесконечно много решений.
4. $a=0\text{:}$ два решения ($x=-1$ и $x=1$).
5. $0<a<3\text{:}$ бесконечно много решений.
6. $a=3\text{:}$ одно решение ($x=2$).
7. $a>3\text{:}$ одно решение ($x=a-1$).

Ответ: $a\in (-\infty ;-1]\cup \{0\}\cup [3;+\infty )\text{.}$