Задача №16567

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых решением неравенства

$$\frac{(x-2)\cdot \ln \left(\frac{4+x-a}{3}\right)}{\sqrt{6-x}}⩽0$$

является отрезок длиной 1.

Рассмотрим неравенство

$$\frac{(x-2)\ln \frac{4+x-a}{3}}{\sqrt{6-x}}⩽0.$$

ОДЗ. Под корнем должна быть положительная величина, и знаменатель не равен нулю: $6-x>0\text{,}$ то есть $x<6\text{.}$ Также $\frac{4+x-a}{3}>0\text{,}$ то есть $x>a-4\text{.}$ Итого:

$$x\in (a-4;6).$$

Знаменатель $\sqrt{6-x}>0$ — на знак не влияет.

Числитель $(x-2)\ln \frac{4+x-a}{3}$ обращается в $0$ при $x=2$ и при $x=a-1$ (тогда $\ln 1=0$).

Знак $\ln \frac{4+x-a}{3}\text{:}$ положителен при $x>a-1\text{,}$ отрицателен при $a-4<x<a-1\text{.}$

Случай 1: $a>3$ (тогда $a-1>2$). Знаки по интервалам:

1. $(a-4;2)\text{:}$ $(x-2)<0\text{,}$ $\ln <0\text{.}$ Числитель $>0\text{.}$
2. $(2;a-1)\text{:}$ $(x-2)>0\text{,}$ $\ln <0\text{.}$ Числитель $<0\text{.}$
3. $(a-1;6)\text{:}$ оба $>0\text{.}$ Числитель $>0\text{.}$

Решение неравенства $⩽0\text{:}$ $x\in [2;a-1]\text{.}$ Длина равна $a-3\text{.}$

Из условия длина $=1$ получаем $a=4\text{.}$ Проверка: $[2;3]\subset (0;6)$ — верно.

Случай 2: $a<3$ (тогда $a-1<2$). Знаки по интервалам:

1. $(a-4;a-1)\text{:}$ оба $<0\text{.}$ Числитель $>0\text{.}$
2. $(a-1;2)\text{:}$ $(x-2)<0\text{,}$ $\ln >0\text{.}$ Числитель $<0\text{.}$
3. $(2;6)\text{:}$ оба $>0\text{.}$ Числитель $>0\text{.}$

Решение $⩽0\text{:}$ $x\in [a-1;2]\text{.}$ Длина равна $3-a\text{.}$

Из условия длина $=1$ получаем $a=2\text{.}$ Проверка: $[1;2]\subset (-2;6)$ — верно.

Случай 3: $a=3\text{.}$ Тогда $a-1=2\text{,}$ единственный корень $x=2\text{,}$ решение — точка, не отрезок длины 1.

Случаи $a⩾6$ или $a⩽-3$ (когда часть критических точек выходит за ОДЗ): решением становится либо полуоткрытый интервал (не отрезок), либо отрезок длины, отличной от 1.

Ответ:

$a=2$ и $a=4\text{.}$