Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств cases 2a x [2pt] 6x > x^2 + a^2 [2pt] x + a 6 cases имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].

Рассмотрим систему неравенств: 1. x>= 2a, 2. 6x > x^2 + a^2, преобразуем второе неравенство: 6x > x^2 + a^2<=> x^2 - 6x + a^2 < 0<=> xin(3-sqrt(9-a^2); 3+sqrt(9-a^2)) при |a| <= 3, 3. x<= 6-a. Множество решений системы — пересечение xin [2a; 6-a] n(3-sqrt(9-a^2); 3+sqrt(9-a^2)). Требуется, чтобы это пересечение содержало хотя бы одну точку отрезка [4; 5]. Обозначим I = [4; 5] n [2a; 6-a]. Множество I непусто при a<= 2, причём: - если a<= 1, то I = [4; 5]; - если 1 < a<= 2, то I = [4; 6-a]. Далее, необходимо и достаточно, чтобы интервал (3-sqrt(9-a^2); 3+sqrt(9-a^2)) пересекался с I. При a<= 1 условие сводится к 3+sqrt(9-a^2) > 4<=> a^2 < 8. Учитывая a<= 1, получаем -sqrt(8) < a<= 1. При 1 < a<= 2 автоматически выполняется 3+sqrt(9-a^2) > 4 (поскольку a^2<= 4 < 8), а также 3-sqrt(9-a^2) < 6-a (так как при 1 < a<= 2 правая часть a-3 отрицательна). Следовательно, пересечение есть всегда. Таким образом, система имеет решение на [4; 5] при ain (-sqrt(8); 2]. Ответ: ain (-sqrt(8); 2]

\(-\sqrt{8} < a\le 2\text{ (или } -2\sqrt{2} < a\le 2)\)