Задача №15415

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система неравенств

$$\{\begin{array}{l}2a⩽x\\ 6x>x^2+a^2\\ x+a⩽6\end{array}$$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]\text{.}$

Рассмотрим систему неравенств:

1. $x\ge 2a\text{,}$
2. $6x>x^2+a^2\text{,}$

преобразуем второе неравенство:

$$6x>x^2+a^2\iff x^2-6x+a^2<0\iff x\in (3-\sqrt{9-a^2};3+\sqrt{9-a^2})\text{ при }|a|\le 3,$$

3. $x\le 6-a\text{.}$

Множество решений системы — пересечение $x\in [2a;6-a]\cap (3-\sqrt{9-a^2};3+\sqrt{9-a^2})\text{.}$

Требуется, чтобы это пересечение содержало хотя бы одну точку отрезка $[4;5]\text{.}$

Обозначим $I=[4;5]\cap [2a;6-a]\text{.}$ Множество $I$ непусто при $a\le 2\text{,}$ причём:

• если $a\le 1\text{,}$ то $I=[4;5]\text{;}$
• если $1<a\le 2\text{,}$ то $I=[4;6-a]\text{.}$

Далее, необходимо и достаточно, чтобы интервал $(3-\sqrt{9-a^2};3+\sqrt{9-a^2})$ пересекался с $I\text{.}$

При $a\le 1$ условие сводится к

$$3+\sqrt{9-a^2}>4\iff a^2<8.$$

Учитывая $a\le 1\text{,}$ получаем $-\sqrt{8}<a\le 1\text{.}$

При $1<a\le 2$ автоматически выполняется $3+\sqrt{9-a^2}>4$ (поскольку $a^2\le 4<8$), а также $3-\sqrt{9-a^2}<6-a$ (так как при $1<a\le 2$ правая часть $a-3$ отрицательна). Следовательно, пересечение есть всегда.

Таким образом, система имеет решение на $[4;5]$ при $a\in (-\sqrt{8};2]\text{.}$

Ответ: $a\in (-\sqrt{8};2]$