Задача №16529

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при каждом из которых среди решений неравенства

$$(x+2)\sqrt{ax+x-x^2-a}⩾0$$

найдутся два числа, разность между которыми равна $4\text{.}$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$ax+x-x^2-a=a(x-1)-x(x-1)=(x-1)(a-x).$$

Исходное неравенство принимает вид $(x+2)\sqrt{(x-1)(a-x)}⩾0$ и равносильно совокупности

$$[\begin{array}{c}(x-1)(a-x)=0,\\ \{\begin{array}{l}(x-1)(a-x)>0,\\ x+2⩾0;\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=1,\\ x=a,\\ \{\begin{array}{l}(x-1)(a-x)>0,\\ x⩾-2.\end{array}\end{array}$$

Изобразим в плоскости $(x;a)$ множество решений: оно состоит из прямых $a=x\text{,}$ $x=1$ и областей, где $(x-1)(a-x)>0$ при $x⩾-2\text{.}$

1. Случай $a>1\text{:}$ множество решений по $x$ есть отрезок $[1;a]$ (внутри которого $(x-1)(a-x)>0\text{,}$ плюс концы, где радикал нулевой). Длина отрезка $a-1\text{.}$ Для существования двух решений с разностью $4$ необходимо $a-1⩾4\text{,}$ то есть $a⩾5\text{.}$

2. Случай $-2⩽a⩽1\text{:}$ множество решений — отрезок $[a;1]$ длины $1-a⩽3<4\text{.}$ Двух чисел с разностью $4$ не найдётся.

3. Случай $a<-2\text{:}$ множество решений представляет собой объединение $\{a\}\cup [-2;1]$ (точка $x=a\text{,}$ где радикал нулевой, плюс часть отрезка с $x⩾-2$). Внутри $[-2;1]$ максимальная разность $3<4\text{,}$ поэтому требуется пара $(a;x_0)$ с $x_0\in [-2;1]$ и $x_0-a=4\text{.}$ Тогда $x_0=a+4\in [-2;1]\iff -6⩽a⩽-3\text{.}$ С учётом $a<-2$ получаем $a\in [-6;-3]\text{.}$

Объединяя случаи: $a\in [-6;-3]\cup [5;+\infty )\text{.}$

Ответ: $a\in [-6;-3]\cup [5;+\infty )\text{.}$