Найдите все значения параметра a , при каждом из которых среди решений неравенства (x + 2)sqrt(ax + x - x^(2) - a) 0 найдутся два числа, разность между которыми равна 4 .

Преобразуем подкоренное выражение: ax + x - x^(2) - a = a(x - 1) - x(x - 1) = (x - 1)(a - x). Исходное неравенство принимает вид (x + 2)sqrt((x - 1)(a - x)) 0 и равносильно совокупности [ gathered (x - 1)(a - x) = 0, cases (x - 1)(a - x) > 0, x + 2 0; cases gathered . <=> [ gathered x = 1, x = a, cases (x - 1)(a - x) > 0, x -2. cases gathered . Изобразим в плоскости (x; a) множество решений: оно состоит из прямых a = x , x = 1 и областей, где (x - 1)(a - x) > 0 при x -2 . 1. Случай a > 1 : множество решений по x есть отрезок [1; a] (внутри которого (x-1)(a-x) > 0 , плюс концы, где радикал нулевой). Длина отрезка a - 1 . Для существования двух решений с разностью 4 необходимо a - 1 4 , то есть a 5 . 2. Случай -2 a 1 : множество решений — отрезок [a; 1] длины 1 - a 3 < 4 . Двух чисел с разностью 4 не найдётся. 3. Случай a < -2 : множество решений представляет собой объединение a U [-2; 1] (точка x = a , где радикал нулевой, плюс часть отрезка с x -2 ). Внутри [-2; 1] максимальная разность 3 < 4 , поэтому требуется пара (a; x_(0)) с x_(0) in [-2; 1] и x_(0) - a = 4 . Тогда x_(0) = a + 4 in [-2; 1] <=> -6 a -3 . С учётом a < -2 получаем a in [-6; -3] . Объединяя случаи: a in [-6; -3] U [5; +inf) . Ответ: a in [-6; -3] U [5; +inf) .

$a \in [-6;\ -3] \cup [5;\ +\infty)$