Найдите все пары чисел (a; b) , при которых система неравенств cases ax + b (12x + 11)/(4x + 3), ax + b -8x^2 - 30x - 17 cases выполняется для всех x на промежутке [ -(11)/(4); -(3)/(4) ) .

Обозначим f_1(x) = (12x + 11)/(4x + 3) и f_2(x) = -8x^2 - 30x - 17 . Нужно найти пары (a; b) такие, что на промежутке [ -(11)/(4); -(3)/(4) ) выполнено условие f_1(x) ax + b f_2(x) . Рассмотрим функцию f_1(x) : f_1(x) = 3 + (2)/(4x + 3). На промежутке x in [ -(11)/(4); -(3)/(4) ) выражение 4x + 3 принимает значения из полуинтервала [-8; 0) . Следовательно, (2)/(4x + 3) in ( -inf; -(1)/(4) ] , а f_1(x) in ( -inf; (11)/(4) ] . Функция f_1 убывает и выпукла вверх (так как f_1'' < 0 ) на этом промежутке. При x -(3)/(4)^- значение f_1(x) -inf . Рассмотрим функцию f_2(x) . Её графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Вычислим значения в граничных точках: f_2( -(11)/(4) ) = 5 , f_2( -(3)/(4) ) = 1 . Функция f_2 также выпукла вверх. Так как f_1 выпукла вверх, любая касательная к её графику лежит не ниже самого графика. Возьмём прямую y = ax + b как касательную к f_1 в точке x_0 in [ -(11)/(4); -(3)/(4) ) . Обозначим = 4x_0 + 3 in [-8; 0) . Тогда: a = -(8)/(^2), b = 3 + (4)/() - (6)/(^2). Проверим условие ax + b f_2(x) , которое равносильно g(x) = 8x^2 + (30 + a)x + (b + 17) 0 на заданном промежутке. Подставим значения a и b через в граничные условия: 1. В точке x = -(11)/(4) после упрощения получаем: (2)/() + (8)/(^2) 1 => ^2 - 2 - 8 0. Учитывая, что < 0 , это дает -2 . 2. При x -(3)/(4)^- условие g(x) 0 дает: (16)/() -8 => -2. Из пересечения условий получаем = -2 , что соответствует точке касания x_0 = -(5)/(4) . Тогда параметры прямой равны: a = -(8)/(4) = -2, b = 3 + (4)/(-2) - (6)/(4) = 3 - 2 - (3)/(2) = -(1)/(2). Проверка: - Прямая y = -2x - (1)/(2) удовлетворяет условию ax + b f_2(x) , так как 16x^2 + 56x + 33 0 выполняется для x in [ -(11)/(4); -(3)/(4) ] . - Условие ax + b f_1(x) при 4x + 3 < 0 сводится к (4x + 5)^2 0 , что верно всегда. Ответ: ( -2; -(1)/(2) ) .

(a; b) = (-2; -0,5)