Найдите все пары чисел (a;b), при которых система неравенств
⎩⎨⎧ax+b⩾4x+312x+11,ax+b⩽−8x2−30x−17выполняется для всех x на промежутке [−411;−43).
Обозначим f1(x)=4x+312x+11 и f2(x)=−8x2−30x−17. Нужно найти пары (a;b) такие, что на промежутке [−411;−43) выполнено условие
f1(x)⩽ax+b⩽f2(x).
Рассмотрим функцию f1(x):
f1(x)=3+4x+32.На промежутке x∈[−411;−43) выражение 4x+3 принимает значения из полуинтервала [−8;0). Следовательно, 4x+32∈(−∞;−41], а f1(x)∈(−∞;411]. Функция f1 убывает и выпукла вверх (так как f1′′<0) на этом промежутке. При x→−43− значение f1(x)→−∞.
Рассмотрим функцию f2(x). Её графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Вычислим значения в граничных точках:
f2(−411)=5,
f2(−43)=1.
Функция f2 также выпукла вверх.
Так как f1 выпукла вверх, любая касательная к её графику лежит не ниже самого графика. Возьмём прямую y=ax+b как касательную к f1 в точке x0∈[−411;−43). Обозначим τ=4x0+3∈[−8;0). Тогда:
a=−τ28,b=3+τ4−τ26.Проверим условие ax+b⩽f2(x), которое равносильно g(x)=8x2+(30+a)x+(b+17)⩾0 на заданном промежутке. Подставим значения a и b через τ в граничные условия:
1. В точке x=−411 после упрощения получаем:
τ2+τ28⩽1⇒τ2−2τ−8⩾0.Учитывая, что τ<0, это дает τ⩽−2.
2. При x→−43− условие g(x)⩾0 дает:
τ16⩽−8⇒τ⩾−2.Из пересечения условий получаем τ=−2, что соответствует точке касания x0=−45.
Тогда параметры прямой равны:
a=−48=−2,b=3+−24−46=3−2−23=−21.Проверка:
Ответ: (−2;−21).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин