Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств cases ax 2 [2pt] sqrt(x - 1) > a [2pt] 3x 2a + 11 cases имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4].

Система неравенств рассматривается для xin [3;4]. 1. ax 2. При x>0 это равносильно a(2)/(x). Для существования xin[3;4] необходимо a>0, и достаточно a(1)/(2) (поскольку минимальное (2)/(x) на [3;4] равно (1)/(2) при x=4). 2. sqrt(x-1) > a. Максимум sqrt(x-1) на [3;4] равен sqrt(3), поэтому необходимо a < sqrt(3). 3. 3x 2a+11=> a(3x-11)/(2). Минимум правой части на [3;4] равен -1, поэтому условие a -1 автоматически выполняется при a(1)/(2). Теперь ищем условия совместности. Перепишем систему относительно x: x(2)/(a), x > a^2+1, x(2a+11)/(3), xin[3;4]. При a(1)/(2) имеем (2a+11)/(3) 4, поэтому третье неравенство даёт x 4. Рассмотрим два случая. - Если a^2+1 3 (т.е. a(2)), то условие x > a^2+1 не сужает отрезок [3;4] снизу, кроме требования x(3, (2)/(a)). При ain[ (1)/(2); (2)/(3)] имеем (2)/(a) 3, и интервал [ (2)/(a); 4] непуст (включая точку x=4). При ain( (2)/(3); sqrt(2)] имеем (3, (2)/(a))=3, и интервал [3;4] непуст. - Если a^2+1 > 3 (т.е. a > sqrt(2)), то нижняя граница: x > a^2+1. Чтобы существовало x 4, нужно a^2+1 < 4=> a < sqrt(3). Объединяя, получаем ain[ (1)/(2); sqrt(3)). Ответ: ain[ (1)/(2); sqrt(3))

\(a\in\left[\dfrac{1}{2}, \sqrt{3}\right)\)