Задача №15412

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система неравенств

$$\{\begin{array}{l}ax⩾2\\ \sqrt{x-1}>a\\ 3x⩽2a+11\end{array}$$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]\text{.}$

Система неравенств рассматривается для $x\in [3;4]\text{.}$

1. $ax⩾2\text{.}$ При $x>0$ это равносильно $a⩾\frac{2}{x}\text{.}$ Для существования $x\in [3;4]$ необходимо $a>0\text{,}$ и достаточно $a⩾\frac{1}{2}$ (поскольку минимальное $\frac{2}{x}$ на $[3;4]$ равно $\frac{1}{2}$ при $x=4$).
2. $\sqrt{x-1}>a\text{.}$ Максимум $\sqrt{x-1}$ на $[3;4]$ равен $\sqrt{3}\text{,}$ поэтому необходимо $a<\sqrt{3}\text{.}$
3. $3x⩽2a+11\Rightarrow a⩾\frac{3x-11}{2}\text{.}$ Минимум правой части на $[3;4]$ равен $-1\text{,}$ поэтому условие $a⩾-1$ автоматически выполняется при $a⩾\frac{1}{2}\text{.}$

Теперь ищем условия совместности. Перепишем систему относительно $x\text{:}$

$$x⩾\frac{2}{a},x>a^2+1,x⩽\frac{2a+11}{3},x\in [3;4].$$

При $a⩾\frac{1}{2}$ имеем $\frac{2a+11}{3}⩾4\text{,}$ поэтому третье неравенство даёт $x⩽4\text{.}$

Рассмотрим два случая.

• Если $a^2+1⩽3$ (т.е. $a⩽\sqrt{2}$), то условие $x>a^2+1$ не сужает отрезок $[3;4]$ снизу, кроме требования $x⩾\max (3,\frac{2}{a})\text{.}$ При $a\in \left[\frac{1}{2};\frac{2}{3}\right]$ имеем $\frac{2}{a}⩾3\text{,}$ и интервал $\left[\frac{2}{a};4\right]$ непуст (включая точку $x=4$). При $a\in \left(\frac{2}{3};\sqrt{2}\right]$ имеем $\max (3,\frac{2}{a})=3\text{,}$ и интервал $[3;4]$ непуст.
• Если $a^2+1>3$ (т.е. $a>\sqrt{2}$), то нижняя граница: $x>a^2+1\text{.}$ Чтобы существовало $x⩽4\text{,}$ нужно $a^2+1<4\Rightarrow a<\sqrt{3}\text{.}$

Объединяя, получаем $a\in \left[\frac{1}{2};\sqrt{3}\right)\text{.}$

Ответ: $a\in \left[\frac{1}{2};\sqrt{3}\right)$