Задача №15359

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система неравенств

$$\{\begin{array}{l}x⩽2a+6\\ 6x⩾x^2+a^2\\ x+a>0\end{array}$$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[1;2]\text{.}$

Система равносильна:

$$\{\begin{array}{l}x⩽2a+6,\\ x^2-6x+a^2⩽0,\\ x>-a,\end{array}x\in [1;2].$$

Второе неравенство: $x\in \left[3-\sqrt{9-a^2};3+\sqrt{9-a^2}\right]$ при $|a|⩽3\text{.}$

Необходимые условия: $|a|⩽2\sqrt{2}$ (чтобы отрезок пересекался с $[1;2]$) и $a>-2$ (чтобы $-a<2$).

Рассматриваем два случая:
1. $\max (1,3-\sqrt{9-a^2})⩾-a\text{.}$ Тогда нужно $\max (1,3-\sqrt{9-a^2})⩽\min (2,2a+6)\text{.}$ При $a⩾-1$ это выполняется.
2. $\max (1,3-\sqrt{9-a^2})<-a\text{.}$ Это возможно при $a\in (-2;-1)\text{,}$ условие $-a<\min (2,2a+6)=2$ выполнено.

Объединяя с учётом $|a|⩽2\sqrt{2}\text{,}$ получаем интервал.