Задача №15394

Найдите все значения $a\text{,}$ при каждом из которых система неравенств

$$\{\begin{array}{l}a(x-1)⩾4\\ 2\sqrt{x-2}⩾a\\ 3x<a+14\end{array}$$

имеет хотя бы одно решение на отрезке $[4;5]\text{.}$

Система имеет решение на отрезке $x\in [4;5]$ только при $a>0\text{.}$

Перепишем неравенства как условия на $x\text{:}$

$x⩾1+\frac{4}{a}\text{,}$

$x⩾2+\frac{a^2}{4}\text{,}$

$x<\frac{a+14}{3}\text{.}$

Обозначим $L=\max \left(1+\frac{4}{a},2+\frac{a^2}{4}\right)\text{,}$ $R=\frac{a+14}{3}\text{.}$ Решение существует, если отрезок $[4;5]$ пересекается с $[L;R)\text{.}$

При $0<a<2\text{:}$ $L=1+\frac{4}{a}\text{.}$ Условие $L⩽5$ дает $a⩾1\text{.}$ При $a=1\text{:}$ $L=5\text{,}$ $R=5\text{,}$ но неравенство $x<R$ строгое, так что нет решений. При $1<a<2\text{:}$ $L<5\text{,}$ $R>5\text{,}$ следовательно, $x=5$ подходит.

При $a⩾2\text{:}$ $L=2+\frac{a^2}{4}\text{.}$ Условие $L⩽5$ дает $a⩽2\sqrt{3}\text{.}$ При $a=2\sqrt{3}\text{:}$ $L=5\text{,}$ $R>5\text{,}$ $x=5$ подходит. При $2⩽a<2\sqrt{3}\text{:}$ $L<5\text{,}$ $R>5\text{,}$ решение есть.

Таким образом, система имеет хотя бы одно решение при $1<a⩽2\sqrt{3}\text{.}$

Ответ: $a\in (1;2\sqrt{3}]\text{.}$