Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств cases a(x - 1) 4 [2pt] 2sqrt(x - 2) a [2pt] 3x < a + 14 cases имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].

Система имеет решение на отрезке xin [4; 5] только при a > 0. Перепишем неравенства как условия на x: x 1 + (4)/(a), x 2 + (a^2)/(4), x < (a+14)/(3). Обозначим L = (1+(4)/(a), 2+(a^2)/(4)), R = (a+14)/(3). Решение существует, если отрезок [4; 5] пересекается с [L; R). При 0 < a < 2: L = 1+(4)/(a). Условие L 5 дает a 1. При a=1: L=5, R=5, но неравенство x < R строгое, так что нет решений. При 1 < a < 2: L < 5, R > 5, следовательно, x=5 подходит. При a 2: L = 2+(a^2)/(4). Условие L 5 дает a 2sqrt(3). При a = 2sqrt(3): L=5, R > 5, x=5 подходит. При 2 a < 2sqrt(3): L < 5, R > 5, решение есть. Таким образом, система имеет хотя бы одно решение при 1 < a 2sqrt(3). Ответ: ain (1; 2sqrt(3)].

\(a\in (1, 2\sqrt{3}]\)