59:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 5a:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5b:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 58:T66c,{"@context":"https://schema.org","@type":"Course","name":"Джентльменский набор: задачи Ларина — ЕГЭ профильный","description":"Джентльменский набор второй части профильного ЕГЭ из вариантов Александра Ларина: уравнение (№14) и неравенство (№16). Третий номер общего набора — новый №17, прикладная задача с исследованием модели, — сюда пока не входит: задач этого формата у Ларина ещё нет, а подставлять чужие в авторскую подборку бессмысленно. Задачи Ларина традиционно разнообразнее и хитрее банковских, поэтому хорошо тренируют гибкость мышления и устойчивость к нестандартным формулировкам. По четыре задачи каждого номера от простого к сложному, с AI-проверкой развёрнутого решения. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.","url":"https://sdamex.com/math/ege-prof/collections/gentleman-set-larin","provider":{"@type":"Organization","name":"SdamEx","url":"https://sdamex.com"},"educationalLevel":{"@type":"EducationalOccupationalCredential","credentialCategory":"ЕГЭ"},"hasCourseInstance":{"@type":"CourseInstance","courseMode":"online"},"dateCreated":"2026-06-02T08:44:01.295Z"}5c:T64c,Группируем первое и третье слагаемые и применяем формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \dfrac{\alpha + \beta}{2} \cos \dfrac{\alpha - \beta}{2} $: \[ (\cos 3x + \cos x) - \cos 2x = 2 \cos 2x \cos x - \cos 2x = \cos 2x (2 \cos x - 1) = 0. \] Получаем совокупность: \[ \left[ \begin{array}{l} \cos 2x = 0, \\ 2 \cos x - 1 = 0; \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, \\ \cos x = \dfrac{1}{2}; \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2}, \\ x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \end{array} \right. \quad k, n \in \mathbb{Z}. \] Отбор корней на отрезке $ \left[ -\dfrac{4\pi}{3}; \dfrac{\pi}{6} \right] $. Из серии $ x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2} $: 1. $ k = -3 $: $ x_1 = -\dfrac{5\pi}{4} $ — принадлежит отрезку (так как $ -\dfrac{4\pi}{3} \approx -1{,}33\pi < -\dfrac{5\pi}{4} = -1{,}25\pi $); 2. $ k = -2 $: $ x_2 = -\dfrac{3\pi}{4} $ — принадлежит; 3. $ k = -1 $: $ x_4 = -\dfrac{\pi}{4} $ — принадлежит. Из серии $ x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n $: 1. $ n = 0 $, знак минус: $ x_3 = -\dfrac{\pi}{3} $ — принадлежит. Ответ: а) $ \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2} $, $ k \in \mathbb{Z} $; $ \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $ б) $ -\dfrac{5\pi}{4} $; $ -\dfrac{3\pi}{4} $; $ -\dfrac{\pi}{3} $; $ -\dfrac{\pi}{4} $5d:T633,Применим формулу разности кубов: \[ (\cos 2x - \sin 2x)(\cos^2 2x + \cos 2x \sin 2x + \sin^2 2x) = \cos 2x - \sin 2x. \] Поскольку $ \cos^2 2x + \sin^2 2x = 1 $, выражение в скобках равно $ 1 + \cos 2x \sin 2x = 1 + \dfrac{1}{2}\sin 4x $. Тогда: \[ (\cos 2x - \sin 2x) \left( 1 + \frac{1}{2}\sin 4x \right) - (\cos 2x - \sin 2x) = 0, \] \[ (\cos 2x - \sin 2x) \cdot \frac{1}{2}\sin 4x = 0. \] Отсюда либо $ \cos 2x - \sin 2x = 0 $, либо $ \sin 4x = 0 $. 1. $ \cos 2x = \sin 2x \Leftrightarrow \tg 2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $. 2. $ \sin 4x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi n}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Отберём корни, принадлежащие отрезку $ [0; \pi] $. Для первой серии: $ 0 \leqslant \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2} \leqslant \pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4} \leqslant k \leqslant \dfrac{7}{4} $. Получаем $ k = 0, 1 $, что даёт $ x = \dfrac{\pi}{8}; \dfrac{5\pi}{8} $. Для второй серии: $ 0 \leqslant \dfrac{\pi n}{4} \leqslant \pi \Leftrightarrow 0 \leqslant n \leqslant 4 $. Получаем $ n = 0, 1, 2, 3, 4 $, что даёт $ x = 0; \dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{4}; \pi $. Ответ: а) $ \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2} $, $ \dfrac{\pi n}{4} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $ б) $ 0; \dfrac{\pi}{8}; \dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}; \dfrac{5\pi}{8}; \dfrac{3\pi}{4}; \pi $5e:T66a,А) Решим уравнение $ |\cos x - 2\sin x| + \cos x = 0 $. Перепишем в виде $ |\cos x - 2\sin x| = -\cos x $. Чтобы модуль равнялся $ -\cos x $, необходимо $ \cos x \leqslant 0 $. Раскрытие модуля даёт два случая: \[ \begin{cases} \cos x - 2\sin x = -\cos x, \\ \cos x \leqslant 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} \cos x - 2\sin x = \cos x, \\ \cos x \leqslant 0. \end{cases} \] Случай 1: $ 2\cos x - 2\sin x = 0 \Leftrightarrow \tg x = 1 $. При $ \cos x \leqslant 0 $ получаем серию $ x = \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z} $. Случай 2: $ \sin x = 0 $. При $ \cos x \leqslant 0 $ остаётся серия $ x = \pi + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z} $. Б) Отбор корней на отрезке $ \left[-\dfrac{\pi}{5};\ \dfrac{12\pi}{7}\right] $. Оценим границы: \[ -\dfrac{\pi}{5} \approx -0{,}628,\quad \dfrac{12\pi}{7} \approx 5{,}386. \] Из первой серии: $ \dfrac{5\pi}{4} \approx 3{,}927 $ — попадает в отрезок; $ \dfrac{5\pi}{4} - 2\pi \approx -2{,}356 $ — не попадает. Из второй серии: $ \pi \approx 3{,}142 $ — попадает в отрезок; $ \pi - 2\pi \approx -3{,}142 $ — не попадает; $ \pi + 2\pi \approx 9{,}425 $ — не попадает. Следовательно, корни на отрезке: $ \pi $ и $ \dfrac{5\pi}{4} $. Ответ: а) $ \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi n,\ \pi + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z} $ б) $ \pi;\ \dfrac{5\pi}{4} $5f:T67c,Применим формулы приведения: $ \cos\left(3x - \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin 3x $, $ \cos\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\sin x $, $ \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos 2x $. ОДЗ: $ -\cos x > 0 $, то есть $ \cos x < 0 $. Уравнение принимает вид \[ \frac{\sin 3x - \sin x + \sqrt{2}\cos 2x}{\sqrt{-\cos x}} = 0. \] В числителе $ \sin 3x - \sin x = 2\cos 2x\sin x $, поэтому \[ 2\cos 2x\sin x + \sqrt{2}\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2\cos 2x\left(\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0. \] Рассмотрим случаи: 1. $ \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} $. С учётом ОДЗ ($ \cos x < 0 $): $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, откуда $ x = \pm\frac{3\̇\pi}{4} + 2\pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $. 2. $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $: $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $ или $ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k $. Условию $ \cos x < 0 $ удовлетворяет лишь второй случай, уже вошедший в первый. Отбираем корни на отрезке $ \left[ -2\pi; -\frac{\pi}{2}\right] $: - $ x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k $: при $ k = 0 $ имеем $ -\frac{3\pi}{4} \approx -2,36 $ — принадлежит отрезку. - $ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $: при $ k = -1 $ имеем $ \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} \approx -3,93 $ — принадлежит отрезку. Ответ: а) $ \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $ б) $ -\dfrac{5\pi}{4}; -\dfrac{3\pi}{4} $60:T6af,Решение неравенства $\log^2_{x+3}(2x+1)^2 - 48\log_{(x+3)^2}(2x+1)^{1/2} + 8 \geqslant 0$. ОДЗ: $2x + 1 > 0,\ x + 3 > 0,\ x + 3 \neq 1$, то есть $x > -0{,}5$ (других условий это требование уже не нарушает). Преобразуем логарифмы. Так как $x + 3 > 0$, то $|x + 3| = x + 3$; так как $2x + 1 > 0$, то $|2x + 1| = 2x + 1$. Используем свойства: \[ \log_{x+3}^2(2x+1)^2 = (2\log_{x+3}(2x+1))^2 = 4\log_{x+3}^2(2x+1), \] \[ \log_{(x+3)^2}(2x+1)^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\log_{x+3}(2x+1) = \frac{1}{4}\log_{x+3}(2x+1). \] Неравенство принимает вид: \[ 4\log_{x+3}^2(2x+1) - 48 \cdot \frac{1}{4}\log_{x+3}(2x+1) + 8 \geqslant 0 \Leftrightarrow \] \[ \Leftrightarrow 4\log_{x+3}^2(2x+1) - 12\log_{x+3}(2x+1) + 8 \geqslant 0 \Leftrightarrow \log_{x+3}^2(2x+1) - 3\log_{x+3}(2x+1) + 2 \geqslant 0. \] Замена $t = \log_{x+3}(2x + 1)$: \[ t^2 - 3t + 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow (t - 1)(t - 2) \geqslant 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t \leqslant 1,\\ t \geqslant 2.\end{array}\right. \] При $x > -0{,}5$ имеем $x + 3 > 2{,}5 > 1$, значит функция $\log_{x+3} u$ возрастающая. 1) $\log_{x+3}(2x+1) \leqslant 1 \Leftrightarrow 2x + 1 \leqslant x + 3 \Leftrightarrow x \leqslant 2$. С учётом ОДЗ: $-0{,}5 < x \leqslant 2$. 2) $\log_{x+3}(2x+1) \geqslant 2 \Leftrightarrow 2x + 1 \geqslant (x + 3)^2 \Leftrightarrow x^2 + 4x + 8 \leqslant 0 \Leftrightarrow (x + 2)^2 \leqslant -4$ — решений нет. Итого: $x \in (-0{,}5;\ 2]$. Ответ: $(-0{,}5;\ 2]$.61:T9ad,Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: \[ x^2 - 2\,026x + 2\,025 > 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 2\,025) > 0 \Leftrightarrow x < 1 \text{ или } x > 2\,025. \] Знаменатель не равен нулю: \[ 2\,026^x \neq 2\,026^{2\,027} \Leftrightarrow x \neq 2\,027. \] Следовательно, ОДЗ: $ x \in (-\infty; 1) \cup (2\,025; 2\,027) \cup (2\,027; +\infty) $. Определим знак числителя. Рассмотрим разность $ \log_{2\,025}(x^2 - 2\,026x + 2\,025) - 1 $. Так как основание логарифма $ 2\,025 > 1 $, знак числителя совпадает со знаком выражения: \[ x^2 - 2\,026x + 2\,025 - 2\,025^1 = x^2 - 2\,026x = x(x - 2\,026). \] Анализ знака числителя: 1. Числитель равен $ 0 $ при $ x = 0 $ или $ x = 2\,026 $. Оба значения входят в ОДЗ. 2. Числитель положителен при $ x \in (-\infty; 0) \cup (2\,026; +\infty) $. 3. Числитель отрицателен при $ x \in (0; 2\,026) $. Определим знак знаменателя: Разность $ 2\,026^x - 2\,026^{2\,027} $ имеет тот же знак, что и разность показателей $ x - 2\,027 $: - знаменатель положителен при $ x > 2\,027 $; - знаменатель отрицателен при $ x < 2\,027 $. Решим неравенство, рассматривая случаи, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (с учетом ОДЗ): 1. Числитель равен $ 0 $, знаменатель не равен $ 0 $: $ x = 0 $ и $ x = 2\,026 $. 2. Оба выражения положительны: \[ \begin{cases} x \in (-\infty; 0) \cup (2\,026; +\infty) \\ x > 2\,027 \end{cases} \Rightarrow x \in (2\,027; +\infty). \] 3. Оба выражения отрицательны: \[ \begin{cases} x \in (0; 2\,026) \\ x < 2\,027 \end{cases} \Rightarrow x \in (0; 1) \cup (2\,025; 2\,026) \text{ (с учетом ОДЗ)}. \] Объединяя все найденные значения, получаем итоговое решение: \[ x \in [0; 1) \cup (2\,025; 2\,026] \cup (2\,027; +\infty). \] Ответ: $ [0; 1) \cup (2\,025; 2\,026] \cup (2\,027; +\infty) $.62:Td67,Решение. ОДЗ. Под логарифмом стоит $ (x^2-4x-11)^2 $ и $ (x^2-4x-11)^3 $, поэтому требуется $ x^2-4x-11\neq 0 $, при этом для удобства преобразуем степени по формуле $ \log_a b^k = k\log_a |b| $ (при чётной степени). Чтобы потом избавиться от модуля, заметим, что в области, где $ x^2-4x-11>0 $, преобразование происходит без модуля; область, где $ x^2-4x-11<0 $, проверим отдельно. Знаменатель $ 2-5x-3x^2\neq 0 $ даёт $ x\neq -2 $ и $ x\neq \dfrac{1}{3} $. Пусть $ t = x^2 - 4x - 11 $. Тогда $ \log_5 t^2 = 2\log_5 |t| $, $ \log_{11} t^3 = 3\log_{11} t $ (последний логарифм определён только при $ t>0 $). Поэтому исходное неравенство имеет смысл при $ t>0 $, т.е. при $ x<2-\sqrt{15} $ или $ x>2+\sqrt{15} $. На этой области числитель равен \[ 2\log_5 t - 3\log_{11} t = \frac{2\lg t}{\lg 5} - \frac{3\lg t}{\lg 11} = \frac{\lg t\,(2\lg 11 - 3\lg 5)}{\lg 5\cdot \lg 11} = \frac{\lg t\cdot(\lg 121 - \lg 125)}{\lg 5\cdot\lg 11}. \] Поскольку $ 121<125 $, имеем $ \lg 121 - \lg 125 < 0 $; и $ \lg 5\cdot\lg 11 > 0 $. Знаменатель $ 2 - 5x - 3x^2 = -(3x^2 + 5x - 2) = -3(x+2)\!\left(x-\dfrac{1}{3}\right) $. Вся дробь: \[ \frac{\lg t\,(\lg 121 - \lg 125)}{\lg 5\cdot\lg 11\cdot\bigl(-3(x+2)(x-\tfrac{1}{3})\bigr)}\geqslant 0. \] Множители $ \lg 121 - \lg 125 $ и $ -3 $ оба отрицательны, их произведение положительно; $ \lg 5\cdot\lg 11>0 $. Сократив на положительное, получаем равносильное неравенство \[ \frac{\lg t}{(x+2)(x-\tfrac{1}{3})}\geqslant 0. \] Числа $ \lg t $ и $ t-1 $ имеют одинаковый знак при $ t>0 $ (логарифм возрастает и $ \lg 1 = 0 $), поэтому равносильно \[ \frac{t-1}{(x+2)(x-\tfrac{1}{3})}\geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{x^2-4x-12}{(x+2)(x-\tfrac{1}{3})}\geqslant 0. \] Разложим: $ x^2 - 4x - 12 = (x+2)(x-6) $. Тогда \[ \frac{(x+2)(x-6)}{(x+2)(x-\tfrac{1}{3})}\geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{x-6}{x-\tfrac{1}{3}}\geqslant 0 \quad (x\neq -2). \] Метод интервалов: $ x<\dfrac{1}{3} $ или $ x\geqslant 6 $. Учёт ОДЗ. Должно быть $ t = x^2-4x-11>0 $, т.е. $ x<2-\sqrt{15} $ или $ x>2+\sqrt{15} $; и $ x\neq -2 $. Сравним граничные числа: $ \sqrt{15}\approx 3{,}87 $, поэтому $ 2-\sqrt{15}\approx -1{,}87 $ и $ 2-\sqrt{15} > -2 $; $ \dfrac{1}{3} > 2-\sqrt{15} $; $ 2+\sqrt{15}\approx 5{,}87 < 6 $. Пересечение $ \bigl\{x<\tfrac{1}{3}\bigr\}\cup\bigl\{x\geqslant 6\bigr\} $ с ОДЗ: 1. из $ x<\dfrac{1}{3} $ остаётся $ x<2-\sqrt{15} $, исключая $ x=-2 $, то есть $ (-\infty;-2)\cup(-2;\,2-\sqrt{15}) $; 2. из $ x\geqslant 6 $ остаётся $ [6;+\infty) $ (полностью входит в $ x>2+\sqrt{15} $). Ответ: $ x\in(-\infty;\,-2)\cup(-2;\,2-\sqrt{15})\cup[6;\,+\infty) $.63:Ta73,ОДЗ: $ |x| > 0 $, $ 3|x| - 2 > 0 $, $ |x| \neq 1 $, $ 3|x| - 2 \neq 1 $. Из $ 3|x| - 2 > 0 $: $ |x| > \dfrac{2}{3} $. Из $ 3|x| - 2 \neq 1 $: $ |x| \neq 1 $ (то же ограничение). Итого \[ x \in (-\infty;\,-1)\cup\left(-1;\,-\tfrac{2}{3}\right)\cup\left(\tfrac{2}{3};\,1\right)\cup(1;\,+\infty). \] Пусть $ t = \log_{|x|}(3|x| - 2) $, тогда $ \log_{3|x|-2}(|x|) = \dfrac{1}{t} $, и неравенство примет вид: \[ t + \frac{1}{t} \leqslant \frac{5}{2} \;\Leftrightarrow\; \frac{2t^2 - 5t + 2}{2t} \leqslant 0 \;\Leftrightarrow\; \frac{(2t - 1)(t - 2)}{2t} \leqslant 0. \] Корни числителя: $ t = \dfrac{1}{2} $, $ t = 2 $; числитель и знаменатель меняют знак в нулях. Решение: $ t < 0 $ или $ \dfrac{1}{2} \leqslant t \leqslant 2 $. Случай 1. $ t < 0 $, то есть $ \log_{|x|}(3|x| - 2) < 0 = \log_{|x|} 1 $. По методу рационализации (для логарифма с переменным основанием): \[ (3|x| - 2 - 1)(|x| - 1) < 0 \;\Leftrightarrow\; 3(|x| - 1)(|x| - 1) < 0 \;\Leftrightarrow\; 3(|x| - 1)^2 < 0. \] Решений нет. Случай 2. $ \dfrac{1}{2} \leqslant t \leqslant 2 $, то есть \[ \log_{|x|}\sqrt{|x|} \leqslant \log_{|x|}(3|x| - 2) \leqslant \log_{|x|}|x|^2. \] Левое неравенство $ (3|x| - 2 - \sqrt{|x|})(|x| - 1) \geqslant 0 $. Обозначив $ u = \sqrt{|x|} > 0 $: \[ 3u^2 - u - 2 = (3u + 2)(u - 1). \] Знак $ 3|x| - 2 - \sqrt{|x|} = (3\sqrt{|x|} + 2)(\sqrt{|x|} - 1) $ совпадает со знаком $ \sqrt{|x|} - 1 $, то есть со знаком $ |x| - 1 $. Значит, оба сомножителя имеют одинаковый знак, и неравенство $ (\geqslant 0) $ выполнено всегда (произведение неотрицательно), но при ОДЗ строгое равенство $ |x| = 1 $ исключено. Условие выполняется при всех $ x $ из ОДЗ. Правое неравенство $ (3|x| - 2 - |x|^2)(|x| - 1) \leqslant 0 $, или $ -(|x|^2 - 3|x| + 2)(|x| - 1) \leqslant 0 $, то есть \[ (|x| - 1)(|x| - 2)(|x| - 1) \geqslant 0 \;\Leftrightarrow\; (|x| - 1)^2 (|x| - 2) \geqslant 0. \] При $ |x| \neq 1 $ это равносильно $ |x| \geqslant 2 $, то есть $ x \leqslant -2 $ или $ x \geqslant 2 $. С учётом ОДЗ окончательно $ x \in (-\infty;\,-2] \cup [2;\,+\infty) $. Ответ: $ x \in (-\infty;\,-2] \cup [2;\,+\infty) $.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"$58"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Математика (профиль) ЕГЭ\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/ege-prof\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/ege-prof/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Джентльменский набор: задачи Ларина — ЕГЭ профильный\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L59",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","Математика (профиль) ЕГЭ-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L5a",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L59",null,{"prefetch":false,"href":"/math/ege-prof","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика (профиль) ЕГЭ"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L5a",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L59",null,{"prefetch":false,"href":"/math/ege-prof/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Джентльменский набор: задачи Ларина — ЕГЭ профильный-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L5a",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Джентльменский набор: задачи Ларина — ЕГЭ профильный"}]]}]]}]}],["$","$L5b",null,{"subject":"math","examCode":"ege-prof","collectionId":"gentleman-set-larin","serverCollection":{"id":"d71ca23e-57ac-44b2-99d3-0804e8bec2aa","name":"Джентльменский набор: задачи Ларина — ЕГЭ профильный","code":"gentleman-set-larin","collection_type":"system_pacing","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","exam_code":"ege-prof","metadata":{"axis":"pacing","description":"Джентльменский набор второй части профильного ЕГЭ из вариантов Александра Ларина: уравнение (№14) и неравенство (№16). Третий номер общего набора — новый №17, прикладная задача с исследованием модели, — сюда пока не входит: задач этого формата у Ларина ещё нет, а подставлять чужие в авторскую подборку бессмысленно. Задачи Ларина традиционно разнообразнее и хитрее банковских, поэтому хорошо тренируют гибкость мышления и устойчивость к нестандартным формулировкам. По четыре задачи каждого номера от простого к сложному, с AI-проверкой развёрнутого решения.","hidden_problem_count":0,"kim_year":2027,"origin":"Ларин","pacing_set_batch":"curated-2026-06","per_type_cap":4,"solved_count":0,"task_numbers":[14,16],"total_problem_count":8,"visible_problem_count":8},"created_at":"2026-06-02T08:44:01.295976Z","updated_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"c9c654cf-bfdd-4cf2-9c56-f3de89d57ca8","collection_id":"d71ca23e-57ac-44b2-99d3-0804e8bec2aa","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","updated_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","problem":{"id":"c9c654cf-bfdd-4cf2-9c56-f3de89d57ca8","short_id":16519,"task_number":14,"topic_id":"0c91c0a5-93f3-4a4a-b941-384d8a75e555","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":5,"content_text":"а) Решите уравнение\n\$ \\cos 3x - \\cos 2x + \\cos x = 0 \$.\nб) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку\n\$ \\left[ -\\dfrac{4\\pi}{3}; \\dfrac{\\pi}{6} \\right] \$.","answer_text":"А) $x = \\dfrac{\\pi}{4} + \\dfrac{\\pi k}{2},\\ k \\in \\mathbb{Z}$; $x = \\pm \\dfrac{\\pi}{3} + 2\\pi n,\\ n \\in \\mathbb{Z}$. Б) $-\\dfrac{5\\pi}{4};\\ -\\dfrac{3\\pi}{4};\\ -\\dfrac{\\pi}{3};\\ -\\dfrac{\\pi}{4}$.","answer":"А) $x = \\dfrac{\\pi}{4} + \\dfrac{\\pi k}{2},\\ k \\in \\mathbb{Z}$; $x = \\pm \\dfrac{\\pi}{3} + 2\\pi n,\\ n \\in \\mathbb{Z}$. Б) $-\\dfrac{5\\pi}{4};\\ -\\dfrac{3\\pi}{4};\\ -\\dfrac{\\pi}{3};\\ -\\dfrac{\\pi}{4}$.","solution_text":"$5c","explanation":"","score":2,"part":"2","metadata":{"answer_confidence":"high","condition_confidence":"high","condition_source":"larin-pdf","external_id":"larin-trvar-2025-V501-T13","is_legacy":false,"original_content_text":"А) Решите уравнение\n0\ncos\n2\ncos\n3\ncos\n\n\n\nx\nx\nx\n.\nБ) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку\n\n\n\n\n6\n;\n3\n4\n\n\n.","pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2025/trvar501.pdf","position_in_pdf":13,"solution_confidence":"high","solution_source":"larin-forum","source":"larin-trvar","source_post_indices":"[4, 10, 11]","task_number_hint":13,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:58:24Z","format_content":"2026-05-17T06:49:49Z","subagent_extract":"2026-05-15T20:38:54Z"},"variant_num":501,"year":2025},"created_at":"2026-05-23T13:58:09.034688Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0c91c0a5-93f3-4a4a-b941-384d8a75e555","name":"Тригонометрические уравнения, разложение на множители","description":null},"tags":[{"id":"37945dd4-6787-495c-a3b9-4524691f6dd7","code":"tag-51","name":"Тригонометрические формулы для произведения функций"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"aa2e9a38-7d92-42a4-b5f3-80ae8ff9a23b","collection_id":"d71ca23e-57ac-44b2-99d3-0804e8bec2aa","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","updated_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","problem":{"id":"aa2e9a38-7d92-42a4-b5f3-80ae8ff9a23b","short_id":17002,"task_number":14,"topic_id":"529ef3c4-5cb5-4e05-b33b-8b158025f899","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":5,"content_text":"а) Решите уравнение\n\n\$ \\cos^3 2x - \\sin^3 2x = \\cos 2x - \\sin 2x \$.\n\nб) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку\n\n\$ [0; \\pi] \$.","answer_text":"а) $x = \\dfrac{\\pi}{8} + \\dfrac{\\pi k}{2}$, $x = \\dfrac{\\pi n}{4}$, где $k, n \\in \\mathbb{Z}$; б) $0;\\ \\dfrac{\\pi}{8};\\ \\dfrac{\\pi}{4};\\ \\dfrac{\\pi}{2};\\ \\dfrac{5\\pi}{8};\\ \\dfrac{3\\pi}{4};\\ \\pi$","answer":"а) $x = \\dfrac{\\pi}{8} + \\dfrac{\\pi k}{2}$, $x = \\dfrac{\\pi n}{4}$, где $k, n \\in \\mathbb{Z}$; б) $0;\\ \\dfrac{\\pi}{8};\\ \\dfrac{\\pi}{4};\\ \\dfrac{\\pi}{2};\\ \\dfrac{5\\pi}{8};\\ \\dfrac{3\\pi}{4};\\ \\pi$","solution_text":"$5d","explanation":"","score":2,"part":"2","metadata":{"answer_confidence":"high","condition_confidence":"high","condition_source":"larin-pdf","external_id":"larin-trvar-2026-V519-T13","is_legacy":false,"original_content_text":"А) Решите уравнение\nx\nx\nx\nx\n2\nsin\n2\ncos\n2\nsin\n2\ncos\n3\n3\n\n\n\n.\nБ) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \n\n\n;0\n.","pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar519.pdf","position_in_pdf":13,"solution_confidence":"high","solution_source":"larin-forum","source":"larin-trvar","source_post_indices":"[2]","task_number_hint":13,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:56:32Z","format_content":"2026-05-17T06:48:53Z","subagent_extract":"2026-05-15T20:39:05Z"},"variant_num":519,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:02:40.957325Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"529ef3c4-5cb5-4e05-b33b-8b158025f899","name":"Тригонометрические уравнения, сводимые к однородным","description":null},"tags":[{"id":"2a6876b0-df38-4bc8-89a9-d986e627b92a","code":"tag-38","name":"Основное тригонометрическое тождество и его следствия"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"3cacaba1-d437-4c99-aff2-8e89311eb1c5","collection_id":"d71ca23e-57ac-44b2-99d3-0804e8bec2aa","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","updated_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","problem":{"id":"3cacaba1-d437-4c99-aff2-8e89311eb1c5","short_id":16861,"task_number":14,"topic_id":"0c91c0a5-93f3-4a4a-b941-384d8a75e555","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":6,"content_text":"А) Решите уравнение\n\n\\[\n|\\cos x - 2\\sin x| + \\cos x = 0.\n\\]\n\nБ) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку\n\$ \\left[-\\dfrac{\\pi}{5};\\, \\dfrac{12\\pi}{7}\\right] \$.","answer_text":"5π/4 + 2πn, π + 2πn, n ∈ Z; π, 5π/4","answer":"5π/4 + 2πn, π + 2πn, n ∈ Z; π, 5π/4","solution_text":"$5e","explanation":"","score":2,"part":"2","metadata":{"answer_source":"llm-generated","external_id":"larin-trvar-2026-V518-T13","fill_notes":"current_answer_text был пуст, заполнено решение и ответ из форума.","is_legacy":false,"pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar518.pdf","position_in_pdf":13,"pre_layout_content":"А) Решите уравнение\n0\ncos\nsin\n2\ncos\n\n\n\nx\nx\nx\nБ) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку\n\n\n\n\n7\n12\n;\n5\n\n","solution_confidence":"high","solution_source":"larin-forum","source":"larin-trvar","task_number_hint":13,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:48:15Z","fill_solutions":"2026-05-16T07:25:45Z","fix_layout":"2026-05-16 08:15:14","format_content":"2026-05-16T10:04:01Z"},"variant_num":518,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:01:23.694902Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0c91c0a5-93f3-4a4a-b941-384d8a75e555","name":"Тригонометрические уравнения, разложение на множители","description":null},"tags":[{"id":"2a6876b0-df38-4bc8-89a9-d986e627b92a","code":"tag-38","name":"Основное тригонометрическое тождество и его следствия"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"},{"id":"f8a306b8-8780-43ef-a835-654813949c7a","code":"tag-236","name":"Неравенства с модулями"}]}},{"problem_id":"d87514a8-ac8c-45af-b982-09e64ebdcadc","collection_id":"d71ca23e-57ac-44b2-99d3-0804e8bec2aa","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","updated_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","problem":{"id":"d87514a8-ac8c-45af-b982-09e64ebdcadc","short_id":17224,"task_number":14,"topic_id":"f21a9bd2-a9a3-4a6a-a0c1-b42b0836cb33","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":6,"content_text":"а) Решите уравнение\n\$ \\dfrac{\\cos\\left(3x - \\dfrac{\\pi}{2}\\right) + \\cos\\left(x + \\dfrac{\\pi}{2}\\right) + \\sqrt{2}\\sin\\left(2x + \\dfrac{\\pi}{2}\\right)}{\\sqrt{-\\cos x}} = 0 \$.\n\nб) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку\n\$ \\left[ -2\\pi; -\\dfrac{\\pi}{2}\\right] \$.","answer_text":"А) $x = \\pm\\dfrac{3\\pi}{4} + 2\\pi k$, $k\\in\\mathbb{Z}$; Б) $-\\dfrac{5\\pi}{4}$; $-\\dfrac{3\\pi}{4}$","answer":"А) $x = \\pm\\dfrac{3\\pi}{4} + 2\\pi k$, $k\\in\\mathbb{Z}$; Б) $-\\dfrac{5\\pi}{4}$; $-\\dfrac{3\\pi}{4}$","solution_text":"$5f","explanation":"","score":2,"part":"2","metadata":{"answer_confidence":"high","condition_confidence":"high","condition_source":"larin-pdf","external_id":"larin-trvar-2026-V533-T13","is_legacy":false,"original_content_text":"А) Решите уравнение\n0\ncos\n2\n2\nsin\n2\n2\ncos\n2\n3\ncos\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nx\nx\n.\nБ) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n;\n2\n.","pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar533.pdf","position_in_pdf":13,"solution_confidence":"high","solution_source":"larin-forum","source":"larin-trvar","source_post_indices":"[2, 11]","task_number_hint":13,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:59:17Z","format_content":"2026-05-17T06:51:49Z","subagent_extract":"2026-05-15T20:39:11Z"},"variant_num":533,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:04:46.05496Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"f21a9bd2-a9a3-4a6a-a0c1-b42b0836cb33","name":"Тригонометрические уравнения, разные задачи","description":null},"tags":[{"id":"562d9797-2caf-4ba7-9fa3-a4c33d8cc0a6","code":"tag-80","name":"Область определения уравнения"},{"id":"74abdef8-a765-412d-9b03-06b47b579ea8","code":"tag-110","name":"Формулы приведения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"}]}},{"problem_id":"6d020d74-60c4-4a23-a80b-12ab33a7c23f","collection_id":"d71ca23e-57ac-44b2-99d3-0804e8bec2aa","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","updated_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","problem":{"id":"6d020d74-60c4-4a23-a80b-12ab33a7c23f","short_id":16483,"task_number":16,"topic_id":"379cb168-31c5-4413-8e7e-452c11378fae","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":5,"content_text":"Решите неравенство:\n\$\\log^2_{x+3}(2x+1)^2 - 48\\log_{(x+3)^2}(2x+1)^{1/2} + 8 \\geqslant 0\$.","answer_text":"$$x \\in (-0{,}5;\\ 2]$.","answer":"$$x \\in (-0{,}5;\\ 2]$.","solution_text":"$60","explanation":"","score":2,"part":"2","metadata":{"answer_confidence":"high","condition_confidence":"high","condition_source":"larin-pdf","external_id":"larin-trvar-2025-V501-T15","is_legacy":false,"original_content_text":"Решите неравенство:\n0\n8\n)1\n2\n(\nlog\n48\n)1\n2\n(\nlog\n2\n1\n)\n3\n(\n2\n2\n3\n2\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nx\nx","pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2025/trvar501.pdf","position_in_pdf":15,"solution_confidence":"high","solution_source":"larin-forum","source":"larin-trvar","source_post_indices":"[4, 10, 11]","task_number_hint":15,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:51:22Z","format_content":"2026-05-16T18:15:12Z","subagent_extract":"2026-05-15T20:38:55Z"},"variant_num":501,"year":2025},"created_at":"2026-05-23T13:57:49.534923Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"379cb168-31c5-4413-8e7e-452c11378fae","name":"Неравенства рациональные относительно логарифмической функции","description":null},"tags":[{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"179e22ac-ff8b-45c1-89a3-75708e1b76b6","collection_id":"d71ca23e-57ac-44b2-99d3-0804e8bec2aa","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","updated_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","problem":{"id":"179e22ac-ff8b-45c1-89a3-75708e1b76b6","short_id":16949,"task_number":16,"topic_id":"f8569fb2-ddbc-4bf2-ba88-e17bda7fbb8a","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":5,"content_text":"Решите неравенство:\n\n\\[\n\\dfrac{\\log_{2\\,025}(x^2 - 2\\,026x + 2\\,025) - 1}{2\\,026^x - 2\\,026^{2\\,027}} \\geqslant 0.\n\\]\n\n","answer_text":"[0; 1) U (2025; 2026] U (2027; +inf)","answer":"[0; 1) U (2025; 2026] U (2027; +inf)","solution_text":"$61","explanation":"","score":2,"part":"2","metadata":{"answer_source":"llm-generated","pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar522.pdf","solution_confidence":"high","solution_source":"llm-generated","source":"larin-trvar","suffix":"2","task_number_hint":15,"task_position":15,"tools_applied":{"classify":"2026-05-11T08:41:12Z","fill_solutions":"2026-05-11T08:15:26Z","format_content":"2026-05-17T06:58:02Z","multiversion_split":"2026-05-10T12:02:28Z"},"variant_label":"А. Ларин, вариант №522.2 (2026)","variant_num":522,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:02:14.362363Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"f8569fb2-ddbc-4bf2-ba88-e17bda7fbb8a","name":"Другие неравенства смешанного типа","description":null},"tags":[{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"b36d0079-5c8c-456d-a187-3f00370d21e9","code":"tag-169","name":"Неравенства смешанного типа"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"4a57e286-2a2b-4d13-b00e-d77b9d18fdd5","collection_id":"d71ca23e-57ac-44b2-99d3-0804e8bec2aa","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","updated_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","problem":{"id":"4a57e286-2a2b-4d13-b00e-d77b9d18fdd5","short_id":16867,"task_number":16,"topic_id":"53e4751f-efdc-4ca8-8145-2c0c283e2e84","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство:\n\n\\[\n\\dfrac{\\log_5(x^2 - 4x - 11)^2 - \\log_{11}(x^2 - 4x - 11)^3}{2 - 5x - 3x^2} \\geqslant 0.\n\\]\n\n","answer_text":"$$x \\in (-\\infty;\\,-2)\\cup(-2;\\,2-\\sqrt{15})\\cup[6;\\,+\\infty)$","answer":"$$x \\in (-\\infty;\\,-2)\\cup(-2;\\,2-\\sqrt{15})\\cup[6;\\,+\\infty)$","solution_text":"$62","explanation":"","score":2,"part":"2","metadata":{"answer_confidence":"high","condition_confidence":"high","condition_source":"larin-pdf","external_id":"larin-trvar-2026-V514-T15","is_legacy":false,"original_content_text":"Решите неравенство:\n0\n3\n5\n2\n)\n11\n4\n(\nlog\n)\n11\n4\n(\nlog\n2\n3\n2\n11\n2\n2\n5\n\n\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nx\nx\nx\nx","pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar514.pdf","position_in_pdf":15,"solution_confidence":"high","solution_source":"larin-forum","source":"larin-trvar","source_post_indices":"[4, 8]","task_number_hint":15,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:49:04Z","format_content":"2026-05-16T10:07:32Z","subagent_extract":"2026-05-15T20:39:03Z"},"variant_num":514,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:01:27.748394Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"53e4751f-efdc-4ca8-8145-2c0c283e2e84","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"5ae4f813-cc12-41e7-a437-7d06b056d3d6","collection_id":"d71ca23e-57ac-44b2-99d3-0804e8bec2aa","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","updated_at":"2026-08-30T22:39:12.34467Z","problem":{"id":"5ae4f813-cc12-41e7-a437-7d06b056d3d6","short_id":17282,"task_number":16,"topic_id":"587facf7-e9a9-4ae2-90a9-aeea2758662b","exam_id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство\n\n\\[\n\\log_{|x|}(3|x| - 2) + \\log_{3|x| - 2}(|x|) \\leqslant \\dfrac{5}{2}.\n\\]\n\n","answer_text":"$$x \\in (-\\infty;\\,-2] \\cup [2;\\,+\\infty)$","answer":"$$x \\in (-\\infty;\\,-2] \\cup [2;\\,+\\infty)$","solution_text":"$63","explanation":"","score":2,"part":"2","metadata":{"answer_confidence":"high","condition_confidence":"high","condition_source":"larin-pdf","external_id":"larin-trvar-2026-V538-T15","is_legacy":false,"original_content_text":"Решите неравенство:\n\n\n\n2\n5\nlog\n2\n3\nlog\n2\n3\n\n\n\n\nx\nx\nx\nx\n.","pdf_url":"https://alexlarin.net/ege/2026/trvar538.pdf","position_in_pdf":15,"solution_confidence":"high","solution_source":"larin-forum","source":"larin-trvar","source_post_indices":"[5, 12]","task_number_hint":15,"tools_applied":{"classify":"2026-05-07T19:50:07Z","format_content":"2026-05-16T10:13:20Z","subagent_extract":"2026-05-15T20:36:44Z"},"variant_num":538,"year":2026},"created_at":"2026-05-23T14:05:19.336831Z","updated_at":"2026-08-30T20:07:15.642918Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"587facf7-e9a9-4ae2-90a9-aeea2758662b","name":"Логарифмические неравенства первой и второй степени","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]