а) Решите уравнение (cos(3x - pi2) + cos(x + pi2) + sqrt(2)sin(2x + pi2))/(sqrt(-cos x)) = 0 . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -2pi; -(pi)/(2)] .

Применим формулы приведения: cos(3x - (pi)/(2)) = sin 3x , cos(x + (pi)/(2)) = -sin x , sin(2x + (pi)/(2)) = cos 2x . ОДЗ: -cos x > 0 , то есть cos x < 0 . Уравнение принимает вид (sin 3x - sin x + sqrt(2)cos 2x)/(sqrt(-cos x)) = 0. В числителе sin 3x - sin x = 2cos 2xsin x , поэтому 2cos 2xsin x + sqrt(2)cos 2x = 0 <=> 2cos 2x(sin x + (sqrt(2))/(2)) = 0. Рассмотрим случаи: 1. cos 2x = 0 <=> 2cos^2 x - 1 = 0 <=> cos x = +-(sqrt(2))/(2) . С учётом ОДЗ ( cos x < 0 ): cos x = -(sqrt(2))/(2) , откуда x = +-(3̇pi)/(4) + 2pi k , k in Z . 2. sin x = -(sqrt(2))/(2) : x = -(pi)/(4) + 2pi k или x = -(3pi)/(4) + 2pi k . Условию cos x < 0 удовлетворяет лишь второй случай, уже вошедший в первый. Отбираем корни на отрезке [ -2pi; -(pi)/(2)] : - x = -(3pi)/(4) + 2pi k : при k = 0 имеем -(3pi)/(4) ~ -2,36 — принадлежит отрезку. - x = (3pi)/(4) + 2pi k : при k = -1 имеем (3pi)/(4) - 2pi = -(5pi)/(4) ~ -3,93 — принадлежит отрезку. Ответ: а) +-(3pi)/(4) + 2pi k, k in Z б) -(5pi)/(4); -(3pi)/(4)

А) $x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$; Б) $-\dfrac{5\pi}{4}$; $-\dfrac{3\pi}{4}$