Задача №17224

а) Решите уравнение
$\frac{\cos \left(3x-\frac{\pi }{2}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}{\sqrt{-\cos x}}=0\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Применим формулы приведения: $\cos \left(3x-\frac{\pi }{2}\right)=\sin 3x\text{,}$ $\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x\text{,}$ $\sin \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2x\text{.}$

ОДЗ: $-\cos x>0\text{,}$ то есть $\cos x<0\text{.}$

Уравнение принимает вид

$$\frac{\sin 3x-\sin x+\sqrt{2}\cos 2x}{\sqrt{-\cos x}}=0.$$

В числителе $\sin 3x-\sin x=2\cos 2x\sin x\text{,}$ поэтому

$$2\cos 2x\sin x+\sqrt{2}\cos 2x=0\iff 2\cos 2x\left(\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0.$$

Рассмотрим случаи:

1. $\cos 2x=0\iff 2{\cos }^{2}x-1=0\iff \cos x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$ С учётом ОДЗ ($\cos x<0$): $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{,}$ откуда $x=\pm \frac{3\text{̇}\pi }{4}+2\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

2. $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ или $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k\text{.}$ Условию $\cos x<0$ удовлетворяет лишь второй случай, уже вошедший в первый.

Отбираем корни на отрезке $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]\text{:}$

• $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k\text{:}$ при $k=0$ имеем $-\frac{3\pi }{4}\approx -2,36$ — принадлежит отрезку.
• $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k\text{:}$ при $k=-1$ имеем $\frac{3\pi }{4}-2\pi =-\frac{5\pi }{4}\approx -3,93$ — принадлежит отрезку.

Ответ:

а) $\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{5\pi }{4};-\frac{3\pi }{4}$