Задача №17282

Решите неравенство

$${\log }_{|x|}(3|x|-2)+{\log }_{3|x|-2}(|x|)⩽\frac{5}{2}.$$

ОДЗ: $|x|>0\text{,}$ $3|x|-2>0\text{,}$ $|x|\ne 1\text{,}$ $3|x|-2\ne 1\text{.}$ Из $3|x|-2>0\text{:}$ $|x|>\frac{2}{3}\text{.}$ Из $3|x|-2\ne 1\text{:}$ $|x|\ne 1$ (то же ограничение). Итого

$$x\in (-\infty ;-1)\cup \left(-1;-\frac{2}{3}\right)\cup \left(\frac{2}{3};1\right)\cup (1;+\infty ).$$

Пусть $t={\log }_{|x|}(3|x|-2)\text{,}$ тогда ${\log }_{3|x|-2}(|x|)=\frac{1}{t}\text{,}$ и неравенство примет вид:

$$t+\frac{1}{t}⩽\frac{5}{2}\iff \frac{2t^2-5t+2}{2t}⩽0\iff \frac{(2t-1)(t-2)}{2t}⩽0.$$

Корни числителя: $t=\frac{1}{2}\text{,}$ $t=2\text{;}$ числитель и знаменатель меняют знак в нулях. Решение: $t<0$ или $\frac{1}{2}⩽t⩽2\text{.}$

Случай 1. $t<0\text{,}$ то есть ${\log }_{|x|}(3|x|-2)<0={\log }_{|x|}1\text{.}$ По методу рационализации (для логарифма с переменным основанием):

$$(3|x|-2-1)(|x|-1)<0\iff 3(|x|-1)(|x|-1)<0\iff 3(|x|-1{)}^2<0.$$

Решений нет.

Случай 2. $\frac{1}{2}⩽t⩽2\text{,}$ то есть

$${\log }_{|x|}\sqrt{|x|}⩽{\log }_{|x|}(3|x|-2)⩽{\log }_{|x|}|x{|}^2.$$

Левое неравенство $(3|x|-2-\sqrt{|x|})(|x|-1)⩾0\text{.}$ Обозначив $u=\sqrt{|x|}>0\text{:}$

$$3u^2-u-2=(3u+2)(u-1).$$

Знак $3|x|-2-\sqrt{|x|}=(3\sqrt{|x|}+2)(\sqrt{|x|}-1)$ совпадает со знаком $\sqrt{|x|}-1\text{,}$ то есть со знаком $|x|-1\text{.}$ Значит, оба сомножителя имеют одинаковый знак, и неравенство $(⩾0)$ выполнено всегда (произведение неотрицательно), но при ОДЗ строгое равенство $|x|=1$ исключено. Условие выполняется при всех $x$ из ОДЗ.

Правое неравенство $(3|x|-2-|x{|}^2)(|x|-1)⩽0\text{,}$ или $-(|x{|}^2-3|x|+2)(|x|-1)⩽0\text{,}$ то есть

$$(|x|-1)(|x|-2)(|x|-1)⩾0\iff (|x|-1{)}^2(|x|-2)⩾0.$$

При $|x|\ne 1$ это равносильно $|x|⩾2\text{,}$ то есть $x⩽-2$ или $x⩾2\text{.}$

С учётом ОДЗ окончательно $x\in (-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )\text{.}$

Ответ: $x\in (-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )\text{.}$