Решите неравенство _(|x|)(3|x| - 2) + _(3|x| - 2)(|x|) (5)/(2).

ОДЗ: |x| > 0 , 3|x| - 2 > 0 , |x| != 1 , 3|x| - 2 != 1 . Из 3|x| - 2 > 0 : |x| > (2)/(3) . Из 3|x| - 2 != 1 : |x| != 1 (то же ограничение). Итого x in (-inf;-1)U(-1;-(2)/(3))U((2)/(3);1)U(1;+inf). Пусть t = _(|x|)(3|x| - 2) , тогда _(3|x|-2)(|x|) = (1)/(t) , и неравенство примет вид: t + (1)/(t) (5)/(2) <=>(2t^2 - 5t + 2)/(2t) 0 <=>((2t - 1)(t - 2))/(2t) 0. Корни числителя: t = (1)/(2) , t = 2 ; числитель и знаменатель меняют знак в нулях. Решение: t < 0 или (1)/(2) t 2 . Случай 1. t < 0 , то есть _(|x|)(3|x| - 2) < 0 = _(|x|) 1 . По методу рационализации (для логарифма с переменным основанием): (3|x| - 2 - 1)(|x| - 1) < 0 <=>3(|x| - 1)(|x| - 1) < 0 <=>3(|x| - 1)^2 < 0. Решений нет. Случай 2. (1)/(2) t 2 , то есть _(|x|)sqrt(|x|) _(|x|)(3|x| - 2) _(|x|)|x|^2. Левое неравенство (3|x| - 2 - sqrt(|x|))(|x| - 1) 0 . Обозначив u = sqrt(|x|) > 0 : 3u^2 - u - 2 = (3u + 2)(u - 1). Знак 3|x| - 2 - sqrt(|x|) = (3sqrt(|x|) + 2)(sqrt(|x|) - 1) совпадает со знаком sqrt(|x|) - 1 , то есть со знаком |x| - 1 . Значит, оба сомножителя имеют одинаковый знак, и неравенство ( 0) выполнено всегда (произведение неотрицательно), но при ОДЗ строгое равенство |x| = 1 исключено. Условие выполняется при всех x из ОДЗ. Правое неравенство (3|x| - 2 - |x|^2)(|x| - 1) 0 , или -(|x|^2 - 3|x| + 2)(|x| - 1) 0 , то есть (|x| - 1)(|x| - 2)(|x| - 1) 0 <=>(|x| - 1)^2 (|x| - 2) 0. При |x| != 1 это равносильно |x| 2 , то есть x -2 или x 2 . С учётом ОДЗ окончательно x in (-inf;-2] U [2;+inf) . Ответ: x in (-inf;-2] U [2;+inf) .

$x \in (-\infty;\,-2] \cup [2;\,+\infty)$