Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Ларин
Решите неравенство:
2−5x−3x2log5(x2−4x−11)2−log11(x2−4x−11)3⩾0.Решение.
ОДЗ. Под логарифмом стоит (x2−4x−11)2 и (x2−4x−11)3, поэтому требуется x2−4x−11=0, при этом для удобства преобразуем степени по формуле logabk=kloga∣b∣ (при чётной степени). Чтобы потом избавиться от модуля, заметим, что в области, где x2−4x−11>0, преобразование происходит без модуля; область, где x2−4x−11<0, проверим отдельно. Знаменатель 2−5x−3x2=0 даёт x=−2 и x=31.
Пусть t=x2−4x−11. Тогда log5t2=2log5∣t∣, log11t3=3log11t (последний логарифм определён только при t>0). Поэтому исходное неравенство имеет смысл при t>0, т.е. при x<2−15 или x>2+15. На этой области числитель равен
2log5t−3log11t=lg52lgt−lg113lgt=lg5⋅lg11lgt(2lg11−3lg5)=lg5⋅lg11lgt⋅(lg121−lg125).Поскольку 121<125, имеем lg121−lg125<0; и lg5⋅lg11>0.
Знаменатель 2−5x−3x2=−(3x2+5x−2)=−3(x+2)(x−31).
Вся дробь:
lg5⋅lg11⋅(−3(x+2)(x−31))lgt(lg121−lg125)⩾0.Множители lg121−lg125 и −3 оба отрицательны, их произведение положительно; lg5⋅lg11>0. Сократив на положительное, получаем равносильное неравенство
(x+2)(x−31)lgt⩾0.Числа lgt и t−1 имеют одинаковый знак при t>0 (логарифм возрастает и lg1=0), поэтому равносильно
(x+2)(x−31)t−1⩾0⟺(x+2)(x−31)x2−4x−12⩾0.Разложим: x2−4x−12=(x+2)(x−6). Тогда
(x+2)(x−31)(x+2)(x−6)⩾0⟺x−31x−6⩾0(x=−2).Метод интервалов: x<31 или x⩾6.
Учёт ОДЗ. Должно быть t=x2−4x−11>0, т.е. x<2−15 или x>2+15; и x=−2. Сравним граничные числа: 15≈3,87, поэтому 2−15≈−1,87 и 2−15>−2; 31>2−15; 2+15≈5,87<6.
Пересечение {x<31}∪{x⩾6} с ОДЗ:
1. из x<31 остаётся x<2−15, исключая x=−2, то есть (−∞;−2)∪(−2;2−15);
2. из x⩾6 остаётся [6;+∞) (полностью входит в x>2+15).
Ответ: x∈(−∞;−2)∪(−2;2−15)∪[6;+∞).