Решите неравенство: (_5(x^2 - 4x - 11)^2 - _(11)(x^2 - 4x - 11)^3)/(2 - 5x - 3x^2) 0.

Решение. ОДЗ. Под логарифмом стоит (x^2-4x-11)^2 и (x^2-4x-11)^3 , поэтому требуется x^2-4x-11!= 0 , при этом для удобства преобразуем степени по формуле _a b^k = k_a |b| (при чётной степени). Чтобы потом избавиться от модуля, заметим, что в области, где x^2-4x-11>0 , преобразование происходит без модуля; область, где x^2-4x-11<0 , проверим отдельно. Знаменатель 2-5x-3x^2!= 0 даёт x!= -2 и x!= (1)/(3) . Пусть t = x^2 - 4x - 11 . Тогда _5 t^2 = 2_5 |t| , _(11) t^3 = 3_(11) t (последний логарифм определён только при t>0 ). Поэтому исходное неравенство имеет смысл при t>0 , т.е. при x<2-sqrt(15) или x>2+sqrt(15) . На этой области числитель равен 2_5 t - 3_(11) t = (2lg t)/(lg 5) - (3lg t)/(lg 11) = (lg t(2lg 11 - 3lg 5))/(lg 5* lg 11) = (lg t*(lg 121 - lg 125))/(lg 5*lg 11). Поскольку 121<125 , имеем lg 121 - lg 125 < 0 ; и lg 5*lg 11 > 0 . Знаменатель 2 - 5x - 3x^2 = -(3x^2 + 5x - 2) = -3(x+2)(x-(1)/(3)) . Вся дробь: (lg t(lg 121 - lg 125))/(lg 5*lg 11*(-3(x+2)(x-(1)/(3)))) 0. Множители lg 121 - lg 125 и -3 оба отрицательны, их произведение положительно; lg 5*lg 11>0 . Сократив на положительное, получаем равносильное неравенство (lg t)/((x+2)(x-(1)/(3))) 0. Числа lg t и t-1 имеют одинаковый знак при t>0 (логарифм возрастает и lg 1 = 0 ), поэтому равносильно (t-1)/((x+2)(x-(1)/(3))) 0 (x^2-4x-12)/((x+2)(x-(1)/(3))) 0. Разложим: x^2 - 4x - 12 = (x+2)(x-6) . Тогда ((x+2)(x-6))/((x+2)(x-(1)/(3))) 0 (x-6)/(x-(1)/(3)) 0 (x!= -2). Метод интервалов: x<(1)/(3) или x 6 . Учёт ОДЗ. Должно быть t = x^2-4x-11>0 , т.е. x<2-sqrt(15) или x>2+sqrt(15) ; и x!= -2 . Сравним граничные числа: sqrt(15)~ 3,87 , поэтому 2-sqrt(15)~ -1,87 и 2-sqrt(15) > -2 ; (1)/(3) > 2-sqrt(15) ; 2+sqrt(15)~ 5,87 < 6 . Пересечение x<(1)/(3)Ux 6 с ОДЗ: 1. из x<(1)/(3) остаётся x<2-sqrt(15) , исключая x=-2 , то есть (-inf;-2)U(-2;2-sqrt(15)) ; 2. из x 6 остаётся [6;+inf) (полностью входит в x>2+sqrt(15) ). Ответ: xin(-inf;-2)U(-2;2-sqrt(15))U[6;+inf) .

$x \in (-\infty;\,-2)\cup(-2;\,2-\sqrt{15})\cup[6;\,+\infty)$