Задача №16861

А) Решите уравнение

$$|\cos x-2\sin x|+\cos x=0.$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-\frac{\pi }{5};\frac{12\pi }{7}\right]\text{.}$

А) Решим уравнение $|\cos x-2\sin x|+\cos x=0\text{.}$

Перепишем в виде $|\cos x-2\sin x|=-\cos x\text{.}$ Чтобы модуль равнялся $-\cos x\text{,}$ необходимо $\cos x⩽0\text{.}$ Раскрытие модуля даёт два случая:

$$\{\begin{array}{l}\cos x-2\sin x=-\cos x,\\ \cos x⩽0\end{array}\text{или}\{\begin{array}{l}\cos x-2\sin x=\cos x,\\ \cos x⩽0.\end{array}$$

Случай 1: $2\cos x-2\sin x=0\iff \mathrm{tg}x=1\text{.}$ При $\cos x⩽0$ получаем серию
$x=\frac{5\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Случай 2: $\sin x=0\text{.}$ При $\cos x⩽0$ остаётся серия
$x=\pi +2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Б) Отбор корней на отрезке $\left[-\frac{\pi }{5};\frac{12\pi }{7}\right]\text{.}$

Оценим границы:

$$-\frac{\pi }{5}\approx -0,628,\frac{12\pi }{7}\approx 5,386.$$

Из первой серии: $\frac{5\pi }{4}\approx 3,927$ — попадает в отрезок; $\frac{5\pi }{4}-2\pi \approx -2,356$ — не попадает.

Из второй серии: $\pi \approx 3,142$ — попадает в отрезок; $\pi -2\pi \approx -3,142$ — не попадает; $\pi +2\pi \approx 9,425$ — не попадает.

Следовательно, корни на отрезке: $\pi$ и $\frac{5\pi }{4}\text{.}$

Ответ:

а) $\frac{5\pi }{4}+2\pi n,\pi +2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $\pi ;\frac{5\pi }{4}$