Решите неравенство: log^2_(x+3)(2x+1)^2 - 48_((x+3)^2)(2x+1)^(1/2) + 8 0.

Решение неравенства log^2_(x+3)(2x+1)^2 - 48_((x+3)^2)(2x+1)^(1/2) + 8 0. ОДЗ: 2x + 1 > 0, x + 3 > 0, x + 3 != 1, то есть x > -0,5 (других условий это требование уже не нарушает). Преобразуем логарифмы. Так как x + 3 > 0, то |x + 3| = x + 3; так как 2x + 1 > 0, то |2x + 1| = 2x + 1. Используем свойства: _(x+3)^2(2x+1)^2 = (2_(x+3)(2x+1))^2 = 4_(x+3)^2(2x+1), _((x+3)^2)(2x+1)^(1/2) = (1)/(2) * (1)/(2)_(x+3)(2x+1) = (1)/(4)_(x+3)(2x+1). Неравенство принимает вид: 4_(x+3)^2(2x+1) - 48 * (1)/(4)_(x+3)(2x+1) + 8 0 <=> <=> 4_(x+3)^2(2x+1) - 12_(x+3)(2x+1) + 8 0 <=> _(x+3)^2(2x+1) - 3_(x+3)(2x+1) + 2 0. Замена t = _(x+3)(2x + 1): t^2 - 3t + 2 0 <=> (t - 1)(t - 2) 0 <=> [arraylt 1, t 2.array. При x > -0,5 имеем x + 3 > 2,5 > 1, значит функция _(x+3) u возрастающая. 1) _(x+3)(2x+1) 1 <=> 2x + 1 x + 3 <=> x 2. С учётом ОДЗ: -0,5 < x 2. 2) _(x+3)(2x+1) 2 <=> 2x + 1 (x + 3)^2 <=> x^2 + 4x + 8 0 <=> (x + 2)^2 -4 — решений нет. Итого: x in (-0,5; 2]. Ответ: (-0,5; 2].

$x \in (-0{,}5;\ 2]$.