Решите неравенство: log^2_(x+3)(2x+1)^2 - 48_((x+3)^2)(2x+1)^(1/2) + 8 0.

Задача №16483: Неравенства

Решение неравенства $lo g_{x + 3}^{2} (2 x + 1)^{2} - 48 lo g_{(x + 3)^{2}} (2 x + 1)^{1/2} + 8 ⩾ 0 .$

ОДЗ: $2 x + 1 > 0, x + 3 > 0, x + 3 \neq = 1,$ то есть $x > - 0, 5$ (других условий это требование уже не нарушает).

Преобразуем логарифмы. Так как $x + 3 > 0,$ то $∣ x + 3∣ = x + 3;$ так как $2 x + 1 > 0,$ то $∣2 x + 1∣ = 2 x + 1 .$ Используем свойства:

lo g_{x + 3}^{2} (2 x + 1)^{2} = (2 lo g_{x + 3} (2 x + 1))^{2} = 4 lo g_{x + 3}^{2} (2 x + 1),

lo g_{(x + 3)^{2}} (2 x + 1)^{1/2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lo g_{x + 3} (2 x + 1) = \frac{1}{4} lo g_{x + 3} (2 x + 1) .

Неравенство принимает вид:

4 lo g_{x + 3}^{2} (2 x + 1) - 48 \cdot \frac{1}{4} lo g_{x + 3} (2 x + 1) + 8 ⩾ 0 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow 4 lo g_{x + 3}^{2} (2 x + 1) - 12 lo g_{x + 3} (2 x + 1) + 8 ⩾ 0 \Leftrightarrow lo g_{x + 3}^{2} (2 x + 1) - 3 lo g_{x + 3} (2 x + 1) + 2 ⩾ 0.

Замена $t = lo g_{x + 3} (2 x + 1) :$

t^{2} - 3 t + 2 ⩾ 0 \Leftrightarrow (t - 1) (t - 2) ⩾ 0 \Leftrightarrow [t ⩽ 1, t ⩾ 2.

При $x > - 0, 5$ имеем $x + 3 > 2, 5 > 1,$ значит функция $lo g_{x + 3} u$ возрастающая.

1) $lo g_{x + 3} (2 x + 1) ⩽ 1 \Leftrightarrow 2 x + 1 ⩽ x + 3 \Leftrightarrow x ⩽ 2 .$ С учётом ОДЗ: $- 0, 5 < x ⩽ 2 .$

2) $lo g_{x + 3} (2 x + 1) ⩾ 2 \Leftrightarrow 2 x + 1 ⩾ (x + 3)^{2} \Leftrightarrow x^{2} + 4 x + 8 ⩽ 0 \Leftrightarrow (x + 2)^{2} ⩽ - 4$ — решений нет.

Итого: $x \in (- 0, 5; 2] .$

Ответ: $(- 0, 5; 2] .$

Задача №16483

Задача #16483

Решай похожие задачи

Информация

Задача №16483

Задача #16483

Решай похожие задачи

Информация

Задача #16483

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #16483

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация