Задача №17002

а) Решите уравнение

${\cos }^{3}2x-{\sin }^{3}2x=\cos 2x-\sin 2x\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$[0;\pi ]\text{.}$

Применим формулу разности кубов:

$$(\cos 2x-\sin 2x)({\cos }^{2}2x+\cos 2x\sin 2x+{\sin }^{2}2x)=\cos 2x-\sin 2x.$$

Поскольку ${\cos }^{2}2x+{\sin }^{2}2x=1\text{,}$ выражение в скобках равно $1+\cos 2x\sin 2x=1+\frac{1}{2}\sin 4x\text{.}$ Тогда:

$$(\cos 2x-\sin 2x)\left(1+\frac{1}{2}\sin 4x\right)-(\cos 2x-\sin 2x)=0,$$ $$(\cos 2x-\sin 2x)\cdot \frac{1}{2}\sin 4x=0.$$

Отсюда либо $\cos 2x-\sin 2x=0\text{,}$ либо $\sin 4x=0\text{.}$

1. $\cos 2x=\sin 2x\iff \mathrm{tg}2x=1\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{2}\text{,}$ где $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

2. $\sin 4x=0\iff x=\frac{\pi n}{4}\text{,}$ где $n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Отберём корни, принадлежащие отрезку $[0;\pi ]\text{.}$

Для первой серии:

$0⩽\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{2}⩽\pi \iff -\frac{1}{4}⩽k⩽\frac{7}{4}\text{.}$ Получаем $k=0,1\text{,}$ что даёт $x=\frac{\pi }{8};\frac{5\pi }{8}\text{.}$

Для второй серии:

$0⩽\frac{\pi n}{4}⩽\pi \iff 0⩽n⩽4\text{.}$ Получаем $n=0,1,2,3,4\text{,}$ что даёт $x=0;\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{4};\pi \text{.}$

Ответ:

а) $\frac{\pi }{8}+\frac{\pi k}{2}\text{,}$ $\frac{\pi n}{4}\text{,}$ где $k,n\in \mathbb{Z}$

б) $0;\frac{\pi }{8};\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{8};\frac{3\pi }{4};\pi$