а) Решите уравнение cos^3 2x - sin^3 2x = cos 2x - sin 2x . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; pi] .

Применим формулу разности кубов: (cos 2x - sin 2x)(cos^2 2x + cos 2x sin 2x + sin^2 2x) = cos 2x - sin 2x. Поскольку cos^2 2x + sin^2 2x = 1 , выражение в скобках равно 1 + cos 2x sin 2x = 1 + (1)/(2)sin 4x . Тогда: (cos 2x - sin 2x) ( 1 + (1)/(2)sin 4x ) - (cos 2x - sin 2x) = 0, (cos 2x - sin 2x) * (1)/(2)sin 4x = 0. Отсюда либо cos 2x - sin 2x = 0 , либо sin 4x = 0 . 1. cos 2x = sin 2x <=> tg 2x = 1 <=> x = (pi)/(8) + (pi k)/(2) , где k in Z . 2. sin 4x = 0 <=> x = (pi n)/(4) , где n in Z . Отберём корни, принадлежащие отрезку [0; pi] . Для первой серии: 0 (pi)/(8) + (pi k)/(2) pi <=> -(1)/(4) k (7)/(4) . Получаем k = 0, 1 , что даёт x = (pi)/(8); (5pi)/(8) . Для второй серии: 0 (pi n)/(4) pi <=> 0 n 4 . Получаем n = 0, 1, 2, 3, 4 , что даёт x = 0; (pi)/(4); (pi)/(2); (3pi)/(4); pi . Ответ: а) (pi)/(8) + (pi k)/(2) , (pi n)/(4) , где k, n in Z б) 0; (pi)/(8); (pi)/(4); (pi)/(2); (5pi)/(8); (3pi)/(4); pi

а) $x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi k}{2}$, $x = \dfrac{\pi n}{4}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$; б) $0;\ \dfrac{\pi}{8};\ \dfrac{\pi}{4};\ \dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{5\pi}{8};\ \dfrac{3\pi}{4};\ \pi$