Задача №16949

Решите неравенство:

$$\frac{{\log }_{2025}(x^2-2026x+2025)-1}{2026^x-2026^{2027}}⩾0.$$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства:

$$x^2-2026x+2025>0\iff (x-1)(x-2025)>0\iff x<1\text{ или }x>2025.$$

Знаменатель не равен нулю:

$$2026^x\ne 2026^{2027}\iff x\ne 2027.$$

Следовательно, ОДЗ: $x\in (-\infty ;1)\cup (2025;2027)\cup (2027;+\infty )\text{.}$

Определим знак числителя. Рассмотрим разность ${\log }_{2025}(x^2-2026x+2025)-1\text{.}$ Так как основание логарифма $2025>1\text{,}$ знак числителя совпадает со знаком выражения:

$$x^2-2026x+2025-2025^1=x^2-2026x=x(x-2026).$$

Анализ знака числителя:
1. Числитель равен $0$ при $x=0$ или $x=2026\text{.}$ Оба значения входят в ОДЗ.
2. Числитель положителен при $x\in (-\infty ;0)\cup (2026;+\infty )\text{.}$
3. Числитель отрицателен при $x\in (0;2026)\text{.}$

Определим знак знаменателя:
Разность $2026^x-2026^{2027}$ имеет тот же знак, что и разность показателей $x-2027\text{:}$

• знаменатель положителен при $x>2027\text{;}$
• знаменатель отрицателен при $x<2027\text{.}$

Решим неравенство, рассматривая случаи, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (с учетом ОДЗ):
1. Числитель равен $0\text{,}$ знаменатель не равен $0\text{:}$ $x=0$ и $x=2026\text{.}$
2. Оба выражения положительны:

$$\{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;0)\cup (2026;+\infty )\\ x>2027\end{array}\Rightarrow x\in (2027;+\infty ).$$

3. Оба выражения отрицательны:

$$\{\begin{array}{l}x\in (0;2026)\\ x<2027\end{array}\Rightarrow x\in (0;1)\cup (2025;2026)\text{ (с учетом ОДЗ)}.$$

Объединяя все найденные значения, получаем итоговое решение:

$$x\in [0;1)\cup (2025;2026]\cup (2027;+\infty ).$$

Ответ: $[0;1)\cup (2025;2026]\cup (2027;+\infty )\text{.}$