Задача №16519

а) Решите уравнение
$\cos 3x-\cos 2x+\cos x=0\text{.}$
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-\frac{4\pi }{3};\frac{\pi }{6}\right]\text{.}$

Группируем первое и третье слагаемые и применяем формулу суммы косинусов $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}\text{:}$

Получаем совокупность:

Отбор корней на отрезке $\left[-\frac{4\pi }{3};\frac{\pi }{6}\right]\text{.}$

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}\text{:}$

1. $k=-3\text{:}$ $x_1=-\frac{5\pi }{4}$ — принадлежит отрезку (так как $-\frac{4\pi }{3}\approx -1,33\pi <-\frac{5\pi }{4}=-1,25\pi$);
2. $k=-2\text{:}$ $x_2=-\frac{3\pi }{4}$ — принадлежит;
3. $k=-1\text{:}$ $x_4=-\frac{\pi }{4}$ — принадлежит.

Из серии $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\text{:}$

1. $n=0\text{,}$ знак минус: $x_3=-\frac{\pi }{3}$ — принадлежит.

Ответ:

а) $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{;}$ $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\text{,}$ $n\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{5\pi }{4}\text{;}$ $-\frac{3\pi }{4}\text{;}$ $-\frac{\pi }{3}\text{;}$ $-\frac{\pi }{4}$