58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T730,Требуется найти наибольшее целое число, не превосходящее $\sqrt{2019\cdot 2007-2006\cdot 2020}$, то есть целую часть $\left\lfloor\sqrt{2019\cdot 2007-2006\cdot 2020}\right\rfloor$. Прямое перемножение четырёхзначных чисел громоздко, поэтому преобразуем подкоренное выражение тождественно. Заметим, что числа удобно записать через близкие пары: $2019=2020-1$ и $2007=2006+1$. Тогда первое произведение раскрывается так: \[2019\cdot 2007=(2020-1)(2006+1)=2020\cdot 2006+2020-2006-1.\] Подставляя это в исходную разность, видим, что слагаемое $2020\cdot 2006$ сокращается со вторым произведением $2006\cdot 2020$: \[2019\cdot 2007-2006\cdot 2020=\bigl(2020\cdot 2006+2020-2006-1\bigr)-2006\cdot 2020=2020-2006-1=13.\] (Тот же результат даёт и приём с разностью квадратов: положив центр $N=2013$, имеем $2019=N+6,\ 2007=N-6,\ 2006=N-7,\ 2020=N+7$, откуда \[2019\cdot 2007-2006\cdot 2020=(N^2-36)-(N^2-49)=49-36=13.)\] Итак, под корнем стоит число $13$, и задача сводится к вычислению $\left\lfloor\sqrt{13}\right\rfloor$. Поскольку \[3^2=9\leqslant 13<16=4^2,\] функция $\sqrt{\,\cdot\,}$ монотонно возрастает, и потому $3\leqslant\sqrt{13}<4$. Значит, наибольшее целое число, не превосходящее $\sqrt{13}$, равно $3$ (численно $\sqrt{13}\approx 3{,}606$). Ответ: $3$.5c:T691,Решим уравнение $5\sin x+7\cos 2x=6$. Воспользуемся формулой двойного угла $\cos 2x=1-2\sin^2 x$, справедливой при всех $x$ (ОДЗ всего уравнения — вся числовая прямая, ограничений нет). Получаем \[5\sin x+7\bigl(1-2\sin^2 x\bigr)=6.\] Раскрывая скобки: \[5\sin x+7-14\sin^2 x=6 \iff 14\sin^2 x-5\sin x-1=0.\] Это квадратное уравнение относительно $t=\sin x$: \[14t^2-5t-1=0,\qquad D=(-5)^2-4\cdot 14\cdot(-1)=25+56=81,\] \[t=\frac{5\pm 9}{28}\ \Longrightarrow\ t_1=\frac{14}{28}=\frac{1}{2},\quad t_2=\frac{-4}{28}=-\frac{1}{7}.\] Оба корня удовлетворяют необходимому условию $t\in[-1,1]$, поэтому посторонних корней при возврате к $\sin x$ нет — оба значения дают решения. 1) $\sin x=\dfrac{1}{2}$: \[x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.\] 2) $\sin x=-\dfrac{1}{7}$. Поскольку $\arcsin\!\left(-\dfrac{1}{7}\right)=-\arcsin\dfrac{1}{7}$, общее решение \[x=(-1)^k\Bigl(-\arcsin\tfrac{1}{7}\Bigr)+k\pi=(-1)^{k+1}\arcsin\frac{1}{7}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.\] Так как преобразование $\cos 2x=1-2\sin^2 x$ — тождество (равносильный переход), все полученные $x$ являются решениями исходного уравнения, и других решений нет. Ответ: \[x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+k\pi,\qquad x=(-1)^{k+1}\arcsin\frac{1}{7}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.\]5d:T5ce,**Решаем неравенство** $5^{\log_5^2 x}+3x^{\log_5 x}<20$, где $\log_5^2 x:=(\log_5 x)^2$. **ОДЗ.** Оба слагаемых содержат $\log_5 x$ и степень $x^{\log_5 x}$, поэтому требуется $x>0$. При $x>0$ обе функции определены, посторонних ограничений нет. **Ключевое тождество.** Положим $t=\log_5 x$, тогда $x=5^{t}$. Преобразуем второе слагаемое: \[x^{\log_5 x}=\left(5^{t}\right)^{t}=5^{t^2}=5^{\log_5^2 x}.\] Значит, оба слагаемых равны $5^{t^2}$, и неравенство принимает вид \[5^{t^2}+3\cdot 5^{t^2}<20\iff 4\cdot 5^{t^2}<20\iff 5^{t^2}<5.\] **Решение.** Так как основание $5>1$, функция $5^{u}$ возрастает, поэтому \[5^{t^2}<5^{1}\iff t^2<1\iff -10\)). **Края.** В точках $x=\tfrac15$ и $x=5$ имеем $t^2=1$, откуда $4\cdot 5^{1}=20$, то есть равенство, а не строгое неравенство — концы не входят. Вне отрезка $t^2>1$ даёт значение $>20$ — эти $x$ не подходят. **Ответ:** $x\in\left(\dfrac{1}{5},\,5\right)$.5e:Ta44,Треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB$, значит прямой угол при вершине $C$. Введём систему координат: $A=(0,0)$, $B=(c,0)$, где $c=AB$, а $C=(p,h)$ с $h>0$ ($h$ — высота из $C$ на гипотенузу, $p$ — основание этой высоты от $A$). Прямой угол при $C$ даёт условие перпендикулярности векторов $\overrightarrow{CA}=(-p,-h)$ и $\overrightarrow{CB}=(c-p,-h)$: \[-p(c-p)+h^2=0\quad\Longrightarrow\quad h^2+p^2=pc.\] Точки на гипотенузе. Из $AD:DB=1:7$ следует $AD=\dfrac{c}{8}$, то есть $D=\left(\dfrac{c}{8},0\right)$. Из $BE:EA=1:7$ следует $BE=\dfrac{c}{8}$, то есть $E=\left(\dfrac{7c}{8},0\right)$. Обе точки лежат внутри отрезка $AB$ (порядок $A,D,E,B$). Угол $DCE$. Векторы $\overrightarrow{CD}=\left(\dfrac{c}{8}-p,\,-h\right)$, $\overrightarrow{CE}=\left(\dfrac{7c}{8}-p,\,-h\right)$. Тангенс угла между ними равен отношению модуля «векторного» произведения к скалярному: \[\text{cross}=\left(\tfrac{c}{8}-p\right)(-h)-(-h)\left(\tfrac{7c}{8}-p\right)=\frac{3ch}{4},\] \[\text{dot}=\left(\tfrac{c}{8}-p\right)\left(\tfrac{7c}{8}-p\right)+h^2=\frac{7c^2}{64}-pc+p^2+h^2.\] Подставляя $h^2+p^2=pc$, получаем \[\text{dot}=\frac{7c^2}{64}-pc+pc=\frac{7c^2}{64}>0,\] то есть угол $DCE$ острый, и зависимость от положения $p$ полностью сокращается: \[\tan\angle DCE=\frac{\text{cross}}{\text{dot}}=\frac{\frac{3ch}{4}}{\frac{7c^2}{64}}=\frac{48h}{7c}.\] Использование данных. По условию $\tan\angle DCE=3$: \[\frac{48h}{7c}=3\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{7c}{16}.\] Площадь $S=\dfrac{1}{2}\,c\,h=56$, значит $ch=112$. Подставляя $h=\dfrac{7c}{16}$: \[c\cdot\frac{7c}{16}=112\quad\Longrightarrow\quad \frac{7c^2}{16}=112\quad\Longrightarrow\quad c^2=256\quad\Longrightarrow\quad c=16\ (c>0).\] Проверка существования. При $c=16$, $h=7$: уравнение $h^2=p(c-p)$ даёт $p^2-16p+49=0$, $p=8\pm\sqrt{15}\in(0,16)$ — оба значения допустимы, конфигурация реализуема (две симметричные позиции $C$, обе дают тот же ответ). Итого $AB=16$.5f:Ta90,Нужно найти все пары $(a,b)$, при которых неравенство \[5a(x+3)^4+6b(x-3)^4\leqslant x^4+54x^2+81\] выполняется для всех действительных $x$. **Ключевое наблюдение.** Правая часть совпадает с полусуммой четвёртых степеней: \[(x+3)^4+(x-3)^4=2x^4+108x^2+162=2\left(x^4+54x^2+81\right),\] поэтому \[x^4+54x^2+81=\frac{(x+3)^4+(x-3)^4}{2}.\] Перенесём всё в одну часть. Неравенство равносильно \[\left(5a-\tfrac12\right)(x+3)^4+\left(6b-\tfrac12\right)(x-3)^4\leqslant 0\quad\text{для всех }x.\] Обозначим $A=5a-\tfrac12$, $B=6b-\tfrac12$ и $g(x)=A(x+3)^4+B(x-3)^4$. Требуется $g(x)\leqslant 0$ при всех $x$. **Необходимость.** Подставим точки, обнуляющие одно из слагаемых (ОДЗ — вся $\mathbb{R}$, посторонних значений нет, оба множителя $(x\pm3)^4\geqslant 0$): - $x=3$: второе слагаемое $(x-3)^4=0$, получаем $g(3)=A\cdot 6^4=1296A\leqslant 0\Rightarrow A\leqslant 0$, т.е. $a\leqslant\dfrac{1}{10}$. - $x=-3$: первое слагаемое $(x+3)^4=0$, получаем $g(-3)=B\cdot(-6)^4=1296B\leqslant 0\Rightarrow B\leqslant 0$, т.е. $b\leqslant\dfrac{1}{12}$. **Достаточность.** Если $A\leqslant 0$ и $B\leqslant 0$, то при любом $x$ оба слагаемых неположительны, ведь $(x+3)^4\geqslant 0$ и $(x-3)^4\geqslant 0$; значит $g(x)\leqslant 0$ для всех $x$. Таким образом условия $A\leqslant 0$ и $B\leqslant 0$ одновременно необходимы и достаточны. **Проверка краёв (точность границ).** При $a=\tfrac1{10},\,b=\tfrac1{12}$ имеем $A=B=0$, и неравенство обращается в тождество $x^4+54x^2+81=x^4+54x^2+81$ (равенство при всех $x$). Если $a=\tfrac1{10}+\varepsilon$ ($\varepsilon>0$), то RHS$-$LHS $=-5\varepsilon(x+3)^4<0$ при $x\neq-3$ — неравенство нарушается; аналогично при $b=\tfrac1{12}+\varepsilon$ разность равна $-6\varepsilon(x-3)^4<0$ при $x\neq 3$. Значит обе границы достигаются и не улучшаемы. **Ответ:** все пары $(a,b)$ с $a\leqslant\dfrac{1}{10}$ и $b\leqslant\dfrac{1}{12}$ (граничные значения включаются).60:Tf1a,Дан прямоугольный параллелепипед с рёбрами $a=1$, $b=\sqrt5$, $c=5$. Поместим его в систему координат вершинами $(x,y,z)$, $x\in\{0,a\}$, $y\in\{0,b\}$, $z\in\{0,c\}$. **Описанная сфера.** Центр описанной сферы совпадает с центром параллелепипеда $O=\left(\tfrac a2,\tfrac b2,\tfrac c2\right)$, а её радиус равен половине пространственной диагонали: \[ R=\frac12\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac12\sqrt{1+5+25}=\frac{\sqrt{31}}{2}. \] **Плоскость $\pi$.** Плоскость проходит через три вершины и отсекает тетраэдр — значит, это плоскость через три вершины, смежные с одной угловой вершиной. Возьмём угол в начале координат; смежные вершины суть $(a,0,0)$, $(0,b,0)$, $(0,0,c)$, и плоскость задаётся уравнением \[ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1. \] (Все 8 углов дают конгруэнтные сечения, поэтому расстояние от центра до $\pi$ одинаково — конфигурация единственна.) Расстояние от центра $O$ до этой плоскости: \[ H=\frac{\left|\frac{1}{a}\cdot\frac a2+\frac1b\cdot\frac b2+\frac1c\cdot\frac c2-1\right|}{\sqrt{\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}}} =\frac{\tfrac12}{\sqrt{1+\tfrac15+\tfrac1{25}}} =\frac{\tfrac12}{\sqrt{\tfrac{31}{25}}} =\frac{5}{2\sqrt{31}}=\frac{5\sqrt{31}}{62}. \] Заметим, что $H=\dfrac{5}{31}\,R$; в частности $H0$, касание плоскости: $(R-r)+H=r$, откуда \[ r_{1}=\frac{R+H}{2}=\frac12\left(\frac{\sqrt{31}}{2}+\frac{5\sqrt{31}}{62}\right)=\frac{9\sqrt{31}}{31}. \] *Дальняя сторона* (меньший сегмент, отсекаемый тетраэдр). Центр за плоскостью, $s=-(R-r)$, касание плоскости: $(R-r)-H=r$, откуда \[ r_{2}=\frac{R-H}{2}=\frac12\left(\frac{\sqrt{31}}{2}-\frac{5\sqrt{31}}{62}\right)=\frac{13\sqrt{31}}{62}. \] **Отношение радиусов.** \[ \frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{R+H}{R-H}=\frac{1+\tfrac{5}{31}}{1-\tfrac{5}{31}}=\frac{36/31}{26/31}=\frac{36}{26}=\frac{18}{13}. \] Итак, шары лежат по разные стороны от $\pi$ (что согласуется с условием), их радиусы относятся как $18:13$.61:Te8e,Введём обозначения $a=\cos x$, $b=\cos y$, $c=\cos\frac{x+y}{2}$. Система принимает вид \[\begin{cases}36\sqrt{5}\,a+9\,b+4\sqrt{10}\,c=12\sqrt{5}\\ 9\,ab+4\sqrt{10}\,ac+\sqrt{2}\,bc=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}.\end{cases}\] **Ключевая замена.** Положим \[u=6\sqrt[4]{5}\,\cos x,\qquad v=\tfrac{3}{10}\,5^{3/4}\cos y,\qquad w=\tfrac{2\sqrt{2}}{3}\,\sqrt[4]{5}\,\cos\tfrac{x+y}{2}.\] Тогда попарные произведения дают в точности коэффициенты второго уравнения: \[uv=9\cos x\cos y,\quad uw=4\sqrt{10}\cos x\cos\tfrac{x+y}{2},\quad vw=\sqrt{2}\cos y\cos\tfrac{x+y}{2},\] поэтому второе уравнение есть $uv+uw+vw=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$. А первое уравнение после деления на общий множитель $6\sqrt[4]{5}$ превращается в \[36\sqrt5\cos x=6\sqrt[4]5\,u,\quad 9\cos y=6\sqrt[4]5\,v,\quad 4\sqrt{10}\cos\tfrac{x+y}2=6\sqrt[4]5\,w,\] то есть $6\sqrt[4]{5}\,(u+v+w)=12\sqrt5$, откуда $u+v+w=2\sqrt[4]{5}$. Обозначим $S=u+v+w$, $P=uv+uw+vw$. Тогда \[S^2=\bigl(2\sqrt[4]{5}\bigr)^2=4\sqrt{5},\qquad 3P=3\cdot\frac{4\sqrt5}{3}=4\sqrt5,\] то есть $S^2=3P$. Но \[S^2-3P=(u+v+w)^2-3(uv+uw+vw)=\tfrac12\bigl[(u-v)^2+(v-w)^2+(w-u)^2\bigr]\ge0,\] причём равенство достигается **только** при $u=v=w$. Значит обязательно $u=v=w=\frac{S}{3}=\frac{2\sqrt[4]{5}}{3}$. **Возврат к косинусам.** Из $u=v=w=\frac{2\sqrt[4]{5}}{3}$ получаем единственно возможные значения \[\cos x=\frac{u}{6\sqrt[4]{5}}=\frac{1}{9},\qquad \cos y=\frac{v}{\tfrac{3}{10}5^{3/4}}=\frac{4\sqrt{5}}{9},\qquad \cos\frac{x+y}{2}=\frac{w}{\tfrac{2\sqrt2}{3}\sqrt[4]5}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\] **Совместность и перебор корней на $(-\pi,\pi]$.** Из $\cos x=\frac19$ следует $x=\pm\alpha$, где $\alpha=\arccos\frac19$. Из $\cos y=\frac{4\sqrt5}{9}$ следует $y=\pm\beta$, где $\beta=\arccos\frac{4\sqrt5}{9}$. Заметим, что $\sin\alpha=\sqrt{1-\frac1{81}}=\frac{\sqrt{80}}{9}=\frac{4\sqrt5}{9}=\cos\beta$, поэтому $\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha$, то есть $\beta=\arcsin\frac19$ и $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$. Из $\cos\frac{x+y}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$ и того, что при $x,y\in(-\pi,\pi]$ величина $\frac{x+y}{2}\in(-\pi,\pi]$, получаем $\frac{x+y}{2}=\pm\frac{\pi}{4}$, то есть $x+y=\pm\frac{\pi}{2}$. Перебирая четыре комбинации знаков: \[(\alpha,\beta):\ x+y=\alpha+\beta=\tfrac{\pi}{2}\ \checkmark;\quad (\alpha,-\beta):\ x+y=\alpha-\beta\ne\pm\tfrac\pi2\ \times;\] \[(-\alpha,\beta):\ x+y=-(\alpha-\beta)\ne\pm\tfrac\pi2\ \times;\quad (-\alpha,-\beta):\ x+y=-\tfrac{\pi}{2}\ \checkmark.\] Подходят ровно две пары. (Оба значения $x=\pm\alpha,\ y=\pm\beta$ лежат строго внутри $(-\pi,\pi]$, краёв интервала не достигают, посторонних корней нет — все ограничения уже учтены, поскольку $\cos$ определён всюду.) **Ответ:** \[\boxed{\;(x,y)=\left(\arccos\tfrac{1}{9},\ \arcsin\tfrac{1}{9}\right)\quad\text{и}\quad (x,y)=\left(-\arccos\tfrac{1}{9},\ -\arcsin\tfrac{1}{9}\right).\;}\] Численно $(x,y)\approx(1{,}4595;\ 0{,}1113)$ и $(-1{,}4595;\ -0{,}1113)$. Эквивалентная запись: $\arccos\frac19=\arcsin\frac{4\sqrt5}{9}$, $\arcsin\frac19=\arccos\frac{4\sqrt5}{9}$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2019 — вариант 4\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2019 — вариант 4\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2019-v4\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T11:00:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2019 — вариант 4\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2019 — вариант 4-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2019 — вариант 4"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2019-v4","serverCollection":{"id":"8fe201e0-6b5f-4e12-87f9-0078c57f97a6","name":"ДВИ МГУ 2019 — вариант 4","code":"dvi-math-2019-v4","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/06/dvi_2019.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2019 года, вариант 4","visible_problem_count":8,"year":2019},"created_at":"2026-06-10T11:00:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"2fabaa0f-6935-439f-906a-7ffd448522e8","collection_id":"8fe201e0-6b5f-4e12-87f9-0078c57f97a6","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"2fabaa0f-6935-439f-906a-7ffd448522e8","short_id":18032,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Найдите наибольшее целое число, не превосходящее \$\\sqrt{2019\\cdot 2007-2006\\cdot 2020}\$.","answer_text":"\$3\$","answer":"\$3\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/06/dvi_2019_ans.pdf","variant":"июль 2019 года, вариант 4","variant_key":"2019-v4","year":2019},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"31d4e4b7-a2c1-4cbd-85ff-1aa0dec4e314","code":"tag-45","name":"Сравнение чисел"},{"id":"da67531d-0011-489f-adab-84744c7aa977","code":"tag-208","name":"Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени"}]}},{"problem_id":"f40d1edb-48d0-430a-8212-041007666495","collection_id":"8fe201e0-6b5f-4e12-87f9-0078c57f97a6","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"f40d1edb-48d0-430a-8212-041007666495","short_id":18033,"task_number":17,"topic_id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Найдите \$a+b+c\$, если известно, что \$a+3b=1\$, \$b+3c=2\$, \$c+3a=5\$.","answer_text":"\$2\$","answer":"\$2\$","solution_text":"Сложим почленно все три уравнения. В левой части каждая из переменных \$a\$, \$b\$, \$c\$ встречается ровно по разу со своим коэффициентом и трижды с коэффициентом \$3\$:\n\\[(a+3b)+(b+3c)+(c+3a)=4a+4b+4c=4(a+b+c).\\]\nВ правой части получаем сумму свободных членов:\n\\[1+2+5=8.\\]\nСтало быть, \$4(a+b+c)=8\$, откуда \$a+b+c=2\$.\n\nНаходить сами \$a\$, \$b\$, \$c\$ для ответа не требуется, но система совместна и имеет единственное решение \$a=\\dfrac{10}{7}\$, \$b=-\\dfrac{1}{7}\$, \$c=\\dfrac{5}{7}\$ (его сумма действительно равна \$2\$), так что условие непротиворечиво.\n\nОтвет: \$a+b+c=2\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/06/dvi_2019_ans.pdf","variant":"июль 2019 года, вариант 4","variant_key":"2019-v4","year":2019},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","name":"Системы уравнений","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"f8f70776-3b01-443a-9a7a-93f65d491a5f","code":"tag-239","name":"Линейные уравнения и неравенства"}]}},{"problem_id":"a8967e90-238d-4785-a62a-fc1bf5757466","collection_id":"8fe201e0-6b5f-4e12-87f9-0078c57f97a6","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"a8967e90-238d-4785-a62a-fc1bf5757466","short_id":18034,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Решите уравнение \$5\\sin x+7\\cos 2x=6\$.","answer_text":"\$x = (-1)^k\\pi/6+k\\pi,\\ (-1)^{k+1}\\arcsin\\frac{1}{7}+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = (-1)^k\\pi/6+k\\pi,\\ (-1)^{k+1}\\arcsin\\frac{1}{7}+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/06/dvi_2019_ans.pdf","variant":"июль 2019 года, вариант 4","variant_key":"2019-v4","year":2019},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"98ec9495-e552-4da3-b465-12368cdcbd9d","collection_id":"8fe201e0-6b5f-4e12-87f9-0078c57f97a6","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"98ec9495-e552-4da3-b465-12368cdcbd9d","short_id":18035,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство \$5^{\\log_5^2 x}+3x^{\\log_5 x}<20\$.","answer_text":"\\(\\frac{1}{5}=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ