Решите уравнение 5sin x+7cos 2x=6.

Задача №18034: Уравнение

Решим уравнение $5 sin x + 7 cos 2 x = 6 .$

Воспользуемся формулой двойного угла $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x,$ справедливой при всех $x$ (ОДЗ всего уравнения — вся числовая прямая, ограничений нет). Получаем

5 sin x + 7 (1 - 2 sin^{2} x) = 6.

Раскрывая скобки:

5 sin x + 7 - 14 sin^{2} x = 6 ⟺ 14 sin^{2} x - 5 sin x - 1 = 0.

Это квадратное уравнение относительно $t = sin x :$

14 t^{2} - 5 t - 1 = 0, D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 14 \cdot (- 1) = 25 + 56 = 81,

t = \frac{5 \pm 9}{28} ⟹ t_{1} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}, t_{2} = \frac{- 4}{28} = - \frac{1}{7} .

Оба корня удовлетворяют необходимому условию $t \in [- 1, 1],$ поэтому посторонних корней при возврате к $sin x$ нет — оба значения дают решения.

1) $sin x = \frac{1}{2} :$

x = (- 1)^{k} \frac{π}{6} + k π, k \in Z .

2) $sin x = - \frac{1}{7} .$ Поскольку $arcsin (- \frac{1}{7}) = - arcsin \frac{1}{7},$ общее решение

x = (- 1)^{k} (- arcsin \frac{1}{7}) + k π = (- 1)^{k + 1} arcsin \frac{1}{7} + k π, k \in Z .

Так как преобразование $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ — тождество (равносильный переход), все полученные $x$ являются решениями исходного уравнения, и других решений нет.

Ответ:

x = (- 1)^{k} \frac{π}{6} + k π, x = (- 1)^{k + 1} arcsin \frac{1}{7} + k π, k \in Z .

Решим уравнение $5 sin x + 7 cos 2 x = 6 .$

5 sin x + 7 (1 - 2 sin^{2} x) = 6.

Раскрывая скобки:

5 sin x + 7 - 14 sin^{2} x = 6 ⟺ 14 sin^{2} x - 5 sin x - 1 = 0.

Это квадратное уравнение относительно $t = sin x :$

14 t^{2} - 5 t - 1 = 0, D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 14 \cdot (- 1) = 25 + 56 = 81,

t = \frac{5 \pm 9}{28} ⟹ t_{1} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}, t_{2} = \frac{- 4}{28} = - \frac{1}{7} .

1) $sin x = \frac{1}{2} :$

x = (- 1)^{k} \frac{π}{6} + k π, k \in Z .

2) $sin x = - \frac{1}{7} .$ Поскольку $arcsin (- \frac{1}{7}) = - arcsin \frac{1}{7},$ общее решение

x = (- 1)^{k} (- arcsin \frac{1}{7}) + k π = (- 1)^{k + 1} arcsin \frac{1}{7} + k π, k \in Z .

Ответ:

x = (- 1)^{k} \frac{π}{6} + k π, x = (- 1)^{k + 1} arcsin \frac{1}{7} + k π, k \in Z .

Задача №18034

Задача #18034

Решай похожие задачи

Информация

Задача №18034

Задача #18034

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18034

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18034

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация