Задача №18039

Найдите все $x,y$ из интервала $(-\pi ,\pi ]\text{,}$ удовлетворяющие системе уравнений

$$\{\begin{array}{l}36\sqrt{5}\cos x+9\cos y+4\sqrt{10}\cos \frac{x+y}{2}=12\sqrt{5}\\ 9\cos x\cos y+4\sqrt{10}\cos x\cos \frac{x+y}{2}+\sqrt{2}\cos y\cos \frac{x+y}{2}=\frac{4\sqrt{5}}{3}\end{array}$$

Введём обозначения $a=\cos x\text{,}$ $b=\cos y\text{,}$ $c=\cos \frac{x+y}{2}\text{.}$ Система принимает вид

$$\{\begin{array}{l}36\sqrt{5}a+9b+4\sqrt{10}c=12\sqrt{5}\\ 9ab+4\sqrt{10}ac+\sqrt{2}bc=\frac{4\sqrt{5}}{3}.\end{array}$$

Ключевая замена. Положим

$$u=6\sqrt[4]{5}\cos x,v=\frac{3}{10}{5}^{3/4}\cos y,w=\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt[4]{5}\cos \frac{x+y}{2}.$$

Тогда попарные произведения дают в точности коэффициенты второго уравнения:

$$uv=9\cos x\cos y,uw=4\sqrt{10}\cos x\cos \frac{x+y}{2},vw=\sqrt{2}\cos y\cos \frac{x+y}{2},$$

поэтому второе уравнение есть $uv+uw+vw=\frac{4\sqrt{5}}{3}\text{.}$
А первое уравнение после деления на общий множитель $6\sqrt[4]{5}$ превращается в

$$36\sqrt{5}\cos x=6\sqrt[4]{5}u,9\cos y=6\sqrt[4]{5}v,4\sqrt{10}\cos \frac{x+y}{2}=6\sqrt[4]{5}w,$$

то есть $6\sqrt[4]{5}(u+v+w)=12\sqrt{5}\text{,}$ откуда $u+v+w=2\sqrt[4]{5}\text{.}$

Обозначим $S=u+v+w\text{,}$ $P=uv+uw+vw\text{.}$ Тогда

$$S^2=(2\sqrt[4]{5}{)}^2=4\sqrt{5},3P=3\cdot \frac{4\sqrt{5}}{3}=4\sqrt{5},$$

то есть $S^2=3P\text{.}$ Но

$$S^2-3P=(u+v+w{)}^2-3(uv+uw+vw)=\frac{1}{2}[(u-v{)}^2+(v-w{)}^2+(w-u{)}^2]\ge 0,$$

причём равенство достигается только при $u=v=w\text{.}$ Значит обязательно $u=v=w=\frac{S}{3}=\frac{2\sqrt[4]{5}}{3}\text{.}$

Возврат к косинусам. Из $u=v=w=\frac{2\sqrt[4]{5}}{3}$ получаем единственно возможные значения

$$\cos x=\frac{u}{6\sqrt[4]{5}}=\frac{1}{9},\cos y=\frac{v}{\frac{3}{10}{5}^{3/4}}=\frac{4\sqrt{5}}{9},\cos \frac{x+y}{2}=\frac{w}{\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt[4]{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Совместность и перебор корней на $(-\pi ,\pi ]\text{.}$
Из $\cos x=\frac{1}{9}$ следует $x=\pm \alpha \text{,}$ где $\alpha =\arccos \frac{1}{9}\text{.}$ Из $\cos y=\frac{4\sqrt{5}}{9}$ следует $y=\pm \beta \text{,}$ где $\beta =\arccos \frac{4\sqrt{5}}{9}\text{.}$ Заметим, что $\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{81}}=\frac{\sqrt{80}}{9}=\frac{4\sqrt{5}}{9}=\cos \beta \text{,}$ поэтому $\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha \text{,}$ то есть $\beta =\arcsin \frac{1}{9}$ и $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}\text{.}$

Из $\cos \frac{x+y}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и того, что при $x,y\in (-\pi ,\pi ]$ величина $\frac{x+y}{2}\in (-\pi ,\pi ]\text{,}$ получаем $\frac{x+y}{2}=\pm \frac{\pi }{4}\text{,}$ то есть $x+y=\pm \frac{\pi }{2}\text{.}$ Перебирая четыре комбинации знаков:

$$(\alpha ,\beta ):x+y=\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}✓;(\alpha ,-\beta ):x+y=\alpha -\beta \ne \pm \frac{\pi }{2}\times ;$$ $$(-\alpha ,\beta ):x+y=-(\alpha -\beta )\ne \pm \frac{\pi }{2}\times ;(-\alpha ,-\beta ):x+y=-\frac{\pi }{2}✓.$$

Подходят ровно две пары. (Оба значения $x=\pm \alpha ,y=\pm \beta$ лежат строго внутри $(-\pi ,\pi ]\text{,}$ краёв интервала не достигают, посторонних корней нет — все ограничения уже учтены, поскольку $\cos$ определён всюду.)

Ответ:

$$\boxed{(x,y)=\left(\arccos \frac{1}{9},\arcsin \frac{1}{9}\right)\text{и}(x,y)=\left(-\arccos \frac{1}{9},-\arcsin \frac{1}{9}\right).}$$

Численно $(x,y)\approx (1,4595;0,1113)$ и $(-1,4595;-0,1113)\text{.}$ Эквивалентная запись: $\arccos \frac{1}{9}=\arcsin \frac{4\sqrt{5}}{9}\text{,}$ $\arcsin \frac{1}{9}=\arccos \frac{4\sqrt{5}}{9}\text{.}$