Задача №18037

Найдите все пары вещественных чисел $(a,b)\text{,}$ при которых неравенство

$$5a(x+3{)}^4+6b(x-3{)}^4⩽x^4+54x^2+81$$

справедливо для всех вещественных $x\text{.}$

Нужно найти все пары $(a,b)\text{,}$ при которых неравенство

$$5a(x+3{)}^4+6b(x-3{)}^4⩽x^4+54x^2+81$$

выполняется для всех действительных $x\text{.}$

Ключевое наблюдение. Правая часть совпадает с полусуммой четвёртых степеней:

$$(x+3{)}^4+(x-3{)}^4=2x^4+108x^2+162=2\left(x^4+54x^2+81\right),$$

поэтому

$$x^4+54x^2+81=\frac{(x+3{)}^4+(x-3{)}^4}{2}.$$

Перенесём всё в одну часть. Неравенство равносильно

$$\left(5a-\frac{1}{2}\right)(x+3{)}^4+\left(6b-\frac{1}{2}\right)(x-3{)}^4⩽0\text{для всех }x.$$

Обозначим $A=5a-\frac{1}{2}\text{,}$ $B=6b-\frac{1}{2}$ и $g(x)=A(x+3{)}^4+B(x-3{)}^4\text{.}$ Требуется $g(x)⩽0$ при всех $x\text{.}$

Необходимость. Подставим точки, обнуляющие одно из слагаемых (ОДЗ — вся $\mathbb{R}\text{,}$ посторонних значений нет, оба множителя $(x\pm 3{)}^4⩾0$):

• $x=3\text{:}$ второе слагаемое $(x-3{)}^4=0\text{,}$ получаем $g(3)=A\cdot 6^4=1296A⩽0\Rightarrow A⩽0\text{,}$ т.е. $a⩽\frac{1}{10}\text{.}$
• $x=-3\text{:}$ первое слагаемое $(x+3{)}^4=0\text{,}$ получаем $g(-3)=B\cdot (-6{)}^4=1296B⩽0\Rightarrow B⩽0\text{,}$ т.е. $b⩽\frac{1}{12}\text{.}$

Достаточность. Если $A⩽0$ и $B⩽0\text{,}$ то при любом $x$ оба слагаемых неположительны, ведь $(x+3{)}^4⩾0$ и $(x-3{)}^4⩾0\text{;}$ значит $g(x)⩽0$ для всех $x\text{.}$

Таким образом условия $A⩽0$ и $B⩽0$ одновременно необходимы и достаточны.

Проверка краёв (точность границ). При $a=\frac{1}{10},b=\frac{1}{12}$ имеем $A=B=0\text{,}$ и неравенство обращается в тождество $x^4+54x^2+81=x^4+54x^2+81$ (равенство при всех $x$). Если $a=\frac{1}{10}+\epsilon$ ($\epsilon >0$), то RHS$-$LHS $=-5\epsilon (x+3{)}^4<0$ при $x\ne -3$ — неравенство нарушается; аналогично при $b=\frac{1}{12}+\epsilon$ разность равна $-6\epsilon (x-3{)}^4<0$ при $x\ne 3\text{.}$ Значит обе границы достигаются и не улучшаемы.

Ответ: все пары $(a,b)$ с $a⩽\frac{1}{10}$ и $b⩽\frac{1}{12}$ (граничные значения включаются).