Задача №18038

Плоскость $\pi$ проходит через три вершины прямоугольного параллелепипеда, отсекая от него тетраэдр. Два шара максимально возможных радиусов находятся внутри сферы, описанной около этого параллелепипеда, по разные стороны от плоскости $\pi \text{.}$ Найдите отношение радиусов этих шаров, если известно, что рёбра параллелепипеда равны $1\text{,}$ $\sqrt{5}\text{,}$ $5\text{.}$

Дан прямоугольный параллелепипед с рёбрами $a=1\text{,}$ $b=\sqrt{5}\text{,}$ $c=5\text{.}$ Поместим его в систему координат вершинами $(x,y,z)\text{,}$ $x\in \{0,a\}\text{,}$ $y\in \{0,b\}\text{,}$ $z\in \{0,c\}\text{.}$

Описанная сфера. Центр описанной сферы совпадает с центром параллелепипеда $O=\left(\frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{c}{2}\right)\text{,}$ а её радиус равен половине пространственной диагонали:

Плоскость $\pi \text{.}$ Плоскость проходит через три вершины и отсекает тетраэдр — значит, это плоскость через три вершины, смежные с одной угловой вершиной. Возьмём угол в начале координат; смежные вершины суть $(a,0,0)\text{,}$ $(0,b,0)\text{,}$ $(0,0,c)\text{,}$ и плоскость задаётся уравнением

(Все 8 углов дают конгруэнтные сечения, поэтому расстояние от центра до $\pi$ одинаково — конфигурация единственна.) Расстояние от центра $O$ до этой плоскости:

Заметим, что $H=\frac{5}{31}R\text{;}$ в частности $H<R\text{,}$ и плоскость пересекает сферу, разбивая её на два шаровых сегмента.

Максимальные шары в сегментах. Каждый сегмент осесимметричен относительно прямой $\ell \text{,}$ проходящей через $O$ перпендикулярно $\pi \text{.}$ Поэтому наибольший шар, целиком лежащий внутри сферы по одну сторону от $\pi \text{,}$ вписан в этот сегмент: его центр лежит на оси $\ell \text{,}$ он касается плоскости $\pi$ и внутренне касается описанной сферы. Введём координату $s$ вдоль $\ell \text{,}$ отсчитываемую от $O\text{;}$ плоскость находится в точке $s=-H\text{.}$ Для шара радиуса $r$ с центром на оси в точке $s\text{:}$

• внутреннее касание сферы: $|s|=R-r\text{;}$
• касание плоскости: $|s+H|=r\text{.}$

Сторона центра (больший сегмент). Центр шара со стороны $O\text{,}$ $s=R-r>0\text{,}$ касание плоскости: $(R-r)+H=r\text{,}$ откуда

Дальняя сторона (меньший сегмент, отсекаемый тетраэдр). Центр за плоскостью, $s=-(R-r)\text{,}$ касание плоскости: $(R-r)-H=r\text{,}$ откуда

Отношение радиусов.

Итак, шары лежат по разные стороны от $\pi$ (что согласуется с условием), их радиусы относятся как $18:13\text{.}$