Задача №18033

Найдите $a+b+c\text{,}$ если известно, что $a+3b=1\text{,}$ $b+3c=2\text{,}$ $c+3a=5\text{.}$

Сложим почленно все три уравнения. В левой части каждая из переменных $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ встречается ровно по разу со своим коэффициентом и трижды с коэффициентом $3\text{:}$

В правой части получаем сумму свободных членов:

Стало быть, $4(a+b+c)=8\text{,}$ откуда $a+b+c=2\text{.}$

Находить сами $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ для ответа не требуется, но система совместна и имеет единственное решение $a=\frac{10}{7}\text{,}$ $b=-\frac{1}{7}\text{,}$ $c=\frac{5}{7}$ (его сумма действительно равна $2$), так что условие непротиворечиво.

Ответ: $a+b+c=2\text{.}$