Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отмечены точки D и E таким образом, что AD:DB=BE:EA=1:7. Найдите AB, если известно, что площадь треугольника ABC равна 56, а тангенс угла ∠DCE равен 3.
Треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AB, значит прямой угол при вершине C. Введём систему координат: A=(0,0), B=(c,0), где c=AB, а C=(p,h) с h>0 (h — высота из C на гипотенузу, p — основание этой высоты от A).
Прямой угол при C даёт условие перпендикулярности векторов CA=(−p,−h) и CB=(c−p,−h):
−p(c−p)+h2=0⟹h2+p2=pc.Точки на гипотенузе. Из AD:DB=1:7 следует AD=8c, то есть D=(8c,0). Из BE:EA=1:7 следует BE=8c, то есть E=(87c,0). Обе точки лежат внутри отрезка AB (порядок A,D,E,B).
Угол DCE. Векторы CD=(8c−p,−h), CE=(87c−p,−h). Тангенс угла между ними равен отношению модуля «векторного» произведения к скалярному:
cross=(8c−p)(−h)−(−h)(87c−p)=43ch, dot=(8c−p)(87c−p)+h2=647c2−pc+p2+h2.Подставляя h2+p2=pc, получаем
dot=647c2−pc+pc=647c2>0,то есть угол DCE острый, и зависимость от положения p полностью сокращается:
tan∠DCE=dotcross=647c243ch=7c48h.Использование данных. По условию tan∠DCE=3:
7c48h=3⟹h=167c.Площадь S=21ch=56, значит ch=112. Подставляя h=167c:
c⋅167c=112⟹167c2=112⟹c2=256⟹c=16 (c>0).Проверка существования. При c=16, h=7: уравнение h2=p(c−p) даёт p2−16p+49=0, p=8±15∈(0,16) — оба значения допустимы, конфигурация реализуема (две симметричные позиции C, обе дают тот же ответ).
Итого AB=16.