Задача №18035

Решите неравенство $5^{{\log }_5^{2}x}+3x^{{\log }_{5}x}<20\text{.}$

Решаем неравенство $5^{{\log }_5^{2}x}+3x^{{\log }_{5}x}<20\text{,}$ где ${\log }_5^{2}x:=({\log }_{5}x{)}^2\text{.}$

ОДЗ. Оба слагаемых содержат ${\log }_{5}x$ и степень $x^{{\log }_{5}x}\text{,}$ поэтому требуется $x>0\text{.}$ При $x>0$ обе функции определены, посторонних ограничений нет.

Ключевое тождество. Положим $t={\log }_{5}x\text{,}$ тогда $x=5^t\text{.}$ Преобразуем второе слагаемое:

Значит, оба слагаемых равны $5^{t^2}\text{,}$ и неравенство принимает вид

Решение. Так как основание $5>1\text{,}$ функция $5^u$ возрастает, поэтому

Возвращаясь к $x\text{:}$

Все полученные $x$ лежат в ОДЗ ($x>0$).

Края. В точках $x=\frac{1}{5}$ и $x=5$ имеем $t^2=1\text{,}$ откуда $4\cdot 5^1=20\text{,}$ то есть равенство, а не строгое неравенство — концы не входят. Вне отрезка $t^2>1$ даёт значение $>20$ — эти $x$ не подходят.

Ответ: $x\in \left(\frac{1}{5},5\right)\text{.}$