58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T756,Условие $AD:DB=BE:EA=1:5$ означает, что точки $D$ и $E$ делят гипотенузу на части, кратные одной шестой её длины: $D$ отстоит от $A$ на $\tfrac16 AB$, а $E$ отстоит от $B$ на $\tfrac16 AB$. Удобно ввести декартову систему координат с началом в вершине прямого угла $C$ и осями вдоль катетов. Положим $C=(0,0)$, $B=(6a,0)$, $A=(0,6b)$, где $6a=CB$, $6b=CA$ — длины катетов. Тогда точки, делящие гипотенузу на шестые доли, имеют координаты \[D=(a,5b),\qquad E=(5a,b).\] Площадь треугольника равна $30$: \[\frac{6a\cdot 6b}{2}=30 \iff ab=\frac{5}{3}.\] Второе условие — $\operatorname{tg}\angle DCE=2$ — приводим к виду через угол. Угол $\angle DCE$ есть разность углов, которые лучи $CD$ и $CE$ образуют с осью $Cx$. Тангенсы этих углов равны $\dfrac{5b}{a}$ и $\dfrac{b}{5a}$. Обозначив $t=\dfrac{b}{a}$, по формуле тангенса разности получаем \[\operatorname{tg}\angle DCE=\frac{\dfrac{5b}{a}-\dfrac{b}{5a}}{1+\dfrac{5b}{a}\cdot\dfrac{b}{5a}}=\frac{5t-\dfrac{t}{5}}{1+t^2}=\frac{\dfrac{24}{5}t}{1+t^2}=\frac{24ab}{5(a^2+b^2)}.\] По теореме Пифагора $a^2+b^2=c^2$, где $c=\tfrac16 AB$ — одна шестая гипотенузы. Подставляя $ab=\tfrac53$, имеем \[\operatorname{tg}\angle DCE=\frac{24\cdot\frac{5}{3}}{5c^2}=\frac{8}{c^2}.\] Из условия $\dfrac{8}{c^2}=2$ находим $c^2=4$, то есть $c=2$. Значит, \[AB=6c=12.\]5c:T876,Ключевое наблюдение состоит в том, что правая часть выражается через те же четвёртые степени, что и левая. Раскрывая $(x+3)^4$ и $(x-3)^4$, замечаем, что они отличаются только слагаемыми с нечётными степенями $x$ (которые в них противоположны), а чётные части совпадают и равны как раз $x^4+54x^2+81$. Поэтому \[(x+3)^4+(x-3)^4=2(x^4+54x^2+81),\quad\text{то есть}\quad x^4+54x^2+81=\frac{(x+3)^4+(x-3)^4}{2}.\] Подставив это в правую часть, перепишем неравенство в виде \[3a(x+3)^4+8b(x-3)^4\geqslant\frac{(x+3)^4+(x-3)^4}{2},\] или, после переноса всех членов влево, \[\Bigl(3a-\tfrac12\Bigr)(x+3)^4+\Bigl(8b-\tfrac12\Bigr)(x-3)^4\geqslant 0. \tag{*}\] Теперь покажем, что $(*)$ выполнено при всех $x$ тогда и только тогда, когда оба коэффициента неотрицательны. Достаточность очевидна: если $3a-\tfrac12\geqslant 0$ и $8b-\tfrac12\geqslant 0$, то левая часть $(*)$ — сумма двух неотрицательных слагаемых (четвёртые степени неотрицательны), а значит, неотрицательна при любом $x$. Необходимость: подставим конкретные значения $x$, при которых одна из четвёртых степеней обращается в нуль. При $x=3$ множитель $(x-3)^4=0$, а $(x+3)^4=6^4>0$, и из $(*)$ следует $3a-\tfrac12\geqslant 0$. При $x=-3$ аналогично $(x+3)^4=0$, $(x-3)^4>0$, откуда $8b-\tfrac12\geqslant 0$. Итак, условие задачи равносильно системе $3a-\tfrac12\geqslant 0$, $8b-\tfrac12\geqslant 0$, то есть \[a\geqslant\frac{1}{6},\qquad b\geqslant\frac{1}{16}.\]5d:Tc13,Введём систему координат с началом в одной из вершин и осями вдоль рёбер. Пусть вершина $A=(0,0,0)$, а три выходящих из неё ребра имеют длины $1,2,4$; тогда соседние вершины суть $D=(1,0,0)$, $B=(0,2,0)$, $A'=(0,0,4)$. Чтобы плоскость $\pi$ отсекала от параллелепипеда именно тетраэдр, она должна проходить через три вершины, попарно соединённые рёбрами с одной общей вершиной (то есть через три конца рёбер, выходящих из одной вершины). Возьмём, например, вершины $B$, $D$, $A'$; тогда отсекается тетраэдр с вершиной $A$. Эти три точки отсекают на координатных осях отрезки $1$, $2$, $4$, поэтому уравнение плоскости в отрезках даёт \[\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=1 \iff 4x+2y+z-4=0.\] Нормаль к этой плоскости — вектор $\vec n=(4,2,1)$, его длина $|\vec n|=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}$. Центр $O$ описанной сферы — это центр параллелепипеда, то есть середина его главной диагонали: $O=\bigl(\tfrac12,1,2\bigr)$. Радиус сферы равен расстоянию от $O$ до любой вершины, например до $A$: \[R=OA=\sqrt{\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2+1^2+2^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}.\] Два шара максимального радиуса, лежащие внутри сферы по разные стороны от $\pi$, касаются сферы и касаются плоскости $\pi$ (а в общей точке — друг друга). Их центры $O_1,O_2$ и точки касания со сферой лежат на одной прямой через $O$, перпендикулярной $\pi$. Если $r_1$ — радиус большего шара, $r_2$ — меньшего, а $\rho$ — расстояние от $O$ до плоскости $\pi$ (равное длине отрезка от центра до плоскости вдоль нормали), то диаметры шаров равны \[2r_1=R+\rho,\qquad 2r_2=R-\rho,\] откуда искомое отношение \[\frac{r_1}{r_2}=\frac{R+\rho}{R-\rho}.\] Остаётся найти $\rho$ — расстояние от $O=\bigl(\tfrac12,1,2\bigr)$ до плоскости $4x+2y+z-4=0$: \[\rho=\frac{\bigl|4\cdot\tfrac12+2\cdot 1+1\cdot 2-4\bigr|}{\sqrt{16+4+1}}=\frac{2}{\sqrt{21}}.\] Подставляя $R=\dfrac{\sqrt{21}}{2}$ и $\rho=\dfrac{2}{\sqrt{21}}$, получаем \[\frac{r_1}{r_2}=\frac{\dfrac{\sqrt{21}}{2}+\dfrac{2}{\sqrt{21}}}{\dfrac{\sqrt{21}}{2}-\dfrac{2}{\sqrt{21}}}=\frac{21+4}{21-4}=\frac{25}{17}.\]5e:Td0b,Чтобы вскрыть структуру системы, введём обозначения. Если умножить второе уравнение на $7$, то всюду $\cos x$ и $\cos y$ будут входить с коэффициентом $7$, а $\cos\frac{x+y}{2}$ — с коэффициентом $\sqrt{2}$. Положим \[a=7\cos x,\qquad b=7\cos y,\qquad c=\sqrt{2}\cos\frac{x+y}{2}.\] Тогда система принимает вид \[\begin{cases}4\sqrt{3}\,a+b+4\sqrt{3}\,c=12\sqrt{3},\\ ab+4\sqrt{3}\,ac+bc=12\sqrt{3}.\end{cases}\] Из первого уравнения выразим $b=12\sqrt{3}-4\sqrt{3}\,a-4\sqrt{3}\,c$ и подставим во второе. После упрощений получается уравнение относительно $a$ и $c$: \[a^2+ac+c^2-3a-3c+3=0.\] Рассмотрим его как квадратное относительно $a$: \[a^2+(c-3)a+(c^2-3c+3)=0.\] Его дискриминант равен \[D=(c-3)^2-4(c^2-3c+3)=-3(c^2-2c+1)=-3(c-1)^2.\] Квадратное уравнение имеет (вещественное) решение лишь при $D\geqslant 0$, а так как $-3(c-1)^2\leqslant 0$, это возможно только при $c=1$. При $c=1$ тогда $a=-\dfrac{c-3}{2}=1$, а $b=12\sqrt{3}-4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=4\sqrt{3}$. Возвращаясь к исходным неизвестным, получаем равносильную систему \[\cos x=\frac{1}{7},\qquad \cos y=\frac{4\sqrt{3}}{7},\qquad \cos\frac{x+y}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\] Из третьего уравнения $\frac{x+y}{2}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n$. Поскольку $x,y\in(-\pi,\pi]$, их среднее тоже лежит в $(-\pi,\pi]$, поэтому остаётся лишь $x+y=\frac{\pi}{2}$ или $x+y=-\frac{\pi}{2}$, и система распадается на две. В каждой из них выразим $y$ через $x$ и подставим во второе уравнение. Для $x+y=\frac{\pi}{2}$ имеем $\cos y=\cos\bigl(\frac{\pi}{2}-x\bigr)=\sin x$, так что $\sin x=\frac{4\sqrt{3}}{7}$; для $x+y=-\frac{\pi}{2}$ получаем $\sin x=-\frac{4\sqrt{3}}{7}$. Заметим, что $\bigl(\frac17\bigr)^2+\bigl(\frac{4\sqrt3}{7}\bigr)^2=\frac{1+48}{49}=1$, то есть пары $\bigl(\frac17,\frac{4\sqrt3}{7}\bigr)$ и $\bigl(\frac17,-\frac{4\sqrt3}{7}\bigr)$ лежат на единичной окружности, и на промежутке $(-\pi,\pi]$ каждая система $\cos x=\frac17,\ \sin x=\pm\frac{4\sqrt3}{7}$ задаёт ровно одно значение $x$: $x=\arccos\frac17$ (первая система) и $x=-\arccos\frac17$ (вторая). Соответствующие $y$ равны $\frac{\pi}{2}-\arccos\frac17$ и $-\frac{\pi}{2}+\arccos\frac17$; пользуясь тождеством $\arcsin t+\arccos t=\frac{\pi}{2}$, их можно записать как $\arcsin\frac17$ и $-\arcsin\frac17$. Оба значения принадлежат $(-\pi,\pi]$. Итак, решений ровно два: \[(x,y)=\Bigl(\arccos\tfrac17,\ \arcsin\tfrac17\Bigr),\qquad (x,y)=\Bigl(-\arccos\tfrac17,\ -\arcsin\tfrac17\Bigr).\]41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2019 — вариант 2\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2019 — вариант 2\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2019-v2\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T10:40:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2019 — вариант 2\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2019 — вариант 2-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2019 — вариант 2"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2019-v2","serverCollection":{"id":"676cee9b-0c90-46c6-ad2c-a475670005ae","name":"ДВИ МГУ 2019 — вариант 2","code":"dvi-math-2019-v2","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/06/dvi_2019.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2019 года, вариант 2","visible_problem_count":8,"year":2019},"created_at":"2026-06-10T10:40:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"46cc40c8-5993-4a68-940e-f33448740670","collection_id":"676cee9b-0c90-46c6-ad2c-a475670005ae","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"46cc40c8-5993-4a68-940e-f33448740670","short_id":18016,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Найдите наибольшее целое число, не превосходящее \$\\sqrt{2019\\cdot 2031-2017\\cdot 2033}\$.","answer_text":"\$5\$","answer":"\$5\$","solution_text":"Вычислим подкоренное выражение. Запишем сомножители через одно базовое число \$2018\$: \$2019=2018+1\$, \$2017=2018-1\$, а также \$2031=2018+13\$, \$2033=2018+15\$. Тогда\n\\[2019\\cdot 2031-2017\\cdot 2033=(2018+1)(2018+13)-(2018-1)(2018+15).\\]\nРаскрывая скобки, видим, что слагаемые с \$2018^2\$ и со степенью \$2018^1\$ сокращаются (\$1+13=15-1=14\$), и остаётся\n\\[1\\cdot 13-(-1)\\cdot 15=13+15=28.\\]\nИтак, нужно найти \$[\\sqrt{28}]\$. Поскольку \$25<28<36\$, то есть \$5^2<28<6^2\$, имеем \$5<\\sqrt{28}<6\$. Следовательно, наибольшее целое число, не превосходящее \$\\sqrt{28}\$, равно \$5\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"falin-2025-paraphrase","solutions_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/06/dvi_2019_ans.pdf","variant":"июль 2019 года, вариант 2","variant_key":"2019-v2","year":2019},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"161ce81e-7848-4a50-990d-f97dfcbb50aa","code":"tag-22","name":"Преобразования выражений, включающих арифметические операции"},{"id":"a564b21e-7ea8-4bd4-a203-fbb13b2c7d7c","code":"tag-152","name":"Числа и их свойства"}]}},{"problem_id":"21a7c099-f869-4b84-ad83-7ac32aa1c58b","collection_id":"676cee9b-0c90-46c6-ad2c-a475670005ae","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"21a7c099-f869-4b84-ad83-7ac32aa1c58b","short_id":18017,"task_number":17,"topic_id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":3,"content_text":"Найдите \$a+b+c\$, если известно, что \$a+3b=2\$, \$b+3c=4\$, \$c+3a=6\$.","answer_text":"\$3\$","answer":"\$3\$","solution_text":"Сложим все три равенства почленно. В левой части каждая из неизвестных встретится один раз с коэффициентом \$1\$ и один раз с коэффициентом \$3\$, то есть в сумме с коэффициентом \$4\$:\n\\[(a+3b)+(b+3c)+(c+3a)=4(a+b+c).\\]\nВ правой части получаем \$2+4+6=12\$. Значит, \$4(a+b+c)=12\$, откуда\n\\[a+b+c=3.\\]","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"falin-2025-paraphrase","solutions_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/06/dvi_2019_ans.pdf","variant":"июль 2019 года, вариант 2","variant_key":"2019-v2","year":2019},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","name":"Системы уравнений","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"f8f70776-3b01-443a-9a7a-93f65d491a5f","code":"tag-239","name":"Линейные уравнения и неравенства"}]}},{"problem_id":"fc3da0f4-bc43-4c4f-810c-ec9c33f0c66b","collection_id":"676cee9b-0c90-46c6-ad2c-a475670005ae","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"fc3da0f4-bc43-4c4f-810c-ec9c33f0c66b","short_id":18018,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":4,"content_text":"Решите уравнение \$5\\sin x+3\\cos 2x=4\$.","answer_text":"\$x = (-1)^k\\pi/6+k\\pi,\\ (-1)^k\\arcsin\\frac{1}{3}+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = (-1)^k\\pi/6+k\\pi,\\ (-1)^k\\arcsin\\frac{1}{3}+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"Выразим всё через \$\\sin x\$. Воспользуемся формулой двойного угла в виде \$\\cos 2x=1-2\\sin^2 x\$:\n\\[5\\sin x+3(1-2\\sin^2 x)=4 \\iff 6\\sin^2 x-5\\sin x+1=0.\\]\nОбозначим \$t=\\sin x\$. Квадратное уравнение \$6t^2-5t+1=0\$ имеет корни\n\\[t=\\frac{5\\pm\\sqrt{25-24}}{12}=\\frac{5\\pm 1}{12},\\quad\\text{то есть}\\quad t=\\frac{1}{2}\\ \\text{или}\\ t=\\frac{1}{3}.\\]\nОба корня лежат в отрезке \$[-1,1]\$, поэтому возвращаемся к переменной \$x\$ и получаем совокупность двух простейших уравнений:\n\\[\\sin x=\\frac{1}{2}\\quad\\text{и}\\quad \\sin x=\\frac{1}{3}.\\]\nОтсюда\n\\[x=(-1)^k\\frac{\\pi}{6}+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\\quad\\text{или}\\quad x=(-1)^k\\arcsin\\frac{1}{3}+k\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}.\\]","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"falin-2025-paraphrase","solutions_url":"https://pk.math.msu.ru/wp-content/uploads/2025/06/dvi_2019_ans.pdf","variant":"июль 2019 года, вариант 2","variant_key":"2019-v2","year":2019},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9dfedeed-365e-4cb8-a22b-e6ed50550eb1","code":"tag-139","name":"Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус"},{"id":"ce7c2741-ac03-4ffe-afe8-d71552c8416c","code":"tag-196","name":"Синус и косинус двойного угла"}]}},{"problem_id":"80f350ae-2620-4a71-8506-377ba9f63450","collection_id":"676cee9b-0c90-46c6-ad2c-a475670005ae","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"80f350ae-2620-4a71-8506-377ba9f63450","short_id":18019,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство \$3^{\\log_3^2 x}+5x^{\\log_3 x}<18\$.","answer_text":"\$\\frac{1}{3}0\$. Преобразуем оба слагаемых к одному и тому же выражению. Для второго слагаемого воспользуемся тождеством \$a^{\\log_a b}=b\$: прологарифмировав показатель, получаем\n\\[x^{\\log_3 x}=3^{\\log_3 x\\cdot\\log_3 x}=3^{\\log_3^2 x}.\\]\nЗначит, оба слагаемых содержат одинаковый множитель \$3^{\\log_3^2 x}\$, и неравенство принимает вид\n\\[3^{\\log_3^2 x}+5\\cdot 3^{\\log_3^2 x}<18 \\iff 6\\cdot 3^{\\log_3^2 x}<18 \\iff 3^{\\log_3^2 x}<3.\\]\nПрологарифмируем по основанию \$3\$ (обе части положительны, преобразование равносильно):\n\\[\\log_3^2 x<1 \\iff |\\log_3 x|<1 \\iff -1<\\log_3 x<1.\\]\nПотенцируя, получаем\n\\[\\frac{1}{3}=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ