Задача №18020

На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $D$ и $E$ таким образом, что $AD:DB=BE:EA=1:5\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна 30, а тангенс угла $\angle DCE$ равен 2.

Условие $AD:DB=BE:EA=1:5$ означает, что точки $D$ и $E$ делят гипотенузу на части, кратные одной шестой её длины: $D$ отстоит от $A$ на $\frac{1}{6}AB\text{,}$ а $E$ отстоит от $B$ на $\frac{1}{6}AB\text{.}$ Удобно ввести декартову систему координат с началом в вершине прямого угла $C$ и осями вдоль катетов. Положим $C=(0,0)\text{,}$ $B=(6a,0)\text{,}$ $A=(0,6b)\text{,}$ где $6a=CB\text{,}$ $6b=CA$ — длины катетов. Тогда точки, делящие гипотенузу на шестые доли, имеют координаты

Площадь треугольника равна $30\text{:}$

Второе условие — $\mathrm{tg}\angle DCE=2$ — приводим к виду через угол. Угол $\angle DCE$ есть разность углов, которые лучи $CD$ и $CE$ образуют с осью $Cx\text{.}$ Тангенсы этих углов равны $\frac{5b}{a}$ и $\frac{b}{5a}\text{.}$ Обозначив $t=\frac{b}{a}\text{,}$ по формуле тангенса разности получаем

По теореме Пифагора $a^2+b^2=c^2\text{,}$ где $c=\frac{1}{6}AB$ — одна шестая гипотенузы. Подставляя $ab=\frac{5}{3}\text{,}$ имеем

Из условия $\frac{8}{c^2}=2$ находим $c^2=4\text{,}$ то есть $c=2\text{.}$ Значит,