Задача №18023

Найдите все $x,y$ из интервала $(-\pi ,\pi ]\text{,}$ удовлетворяющие системе уравнений

$$\{\begin{array}{l}28\sqrt{3}\cos x+7\cos y+4\sqrt{6}\cos \frac{x+y}{2}=12\sqrt{3}\\ 7\cos x\cos y+4\sqrt{6}\cos x\cos \frac{x+y}{2}+\sqrt{2}\cos y\cos \frac{x+y}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{7}\end{array}$$

Чтобы вскрыть структуру системы, введём обозначения. Если умножить второе уравнение на $7\text{,}$ то всюду $\cos x$ и $\cos y$ будут входить с коэффициентом $7\text{,}$ а $\cos \frac{x+y}{2}$ — с коэффициентом $\sqrt{2}\text{.}$ Положим

$$a=7\cos x,b=7\cos y,c=\sqrt{2}\cos \frac{x+y}{2}.$$

Тогда система принимает вид

$$\{\begin{array}{l}4\sqrt{3}a+b+4\sqrt{3}c=12\sqrt{3},\\ ab+4\sqrt{3}ac+bc=12\sqrt{3}.\end{array}$$

Из первого уравнения выразим $b=12\sqrt{3}-4\sqrt{3}a-4\sqrt{3}c$ и подставим во второе. После упрощений получается уравнение относительно $a$ и $c\text{:}$

$$a^2+ac+c^2-3a-3c+3=0.$$

Рассмотрим его как квадратное относительно $a\text{:}$

$$a^2+(c-3)a+(c^2-3c+3)=0.$$

Его дискриминант равен

$$D=(c-3{)}^2-4(c^2-3c+3)=-3(c^2-2c+1)=-3(c-1{)}^2.$$

Квадратное уравнение имеет (вещественное) решение лишь при $D⩾0\text{,}$ а так как $-3(c-1{)}^2⩽0\text{,}$ это возможно только при $c=1\text{.}$ При $c=1$ тогда $a=-\frac{c-3}{2}=1\text{,}$ а $b=12\sqrt{3}-4\sqrt{3}-4\sqrt{3}=4\sqrt{3}\text{.}$

Возвращаясь к исходным неизвестным, получаем равносильную систему

$$\cos x=\frac{1}{7},\cos y=\frac{4\sqrt{3}}{7},\cos \frac{x+y}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Из третьего уравнения $\frac{x+y}{2}=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n\text{.}$ Поскольку $x,y\in (-\pi ,\pi ]\text{,}$ их среднее тоже лежит в $(-\pi ,\pi ]\text{,}$ поэтому остаётся лишь $x+y=\frac{\pi }{2}$ или $x+y=-\frac{\pi }{2}\text{,}$ и система распадается на две.

В каждой из них выразим $y$ через $x$ и подставим во второе уравнение. Для $x+y=\frac{\pi }{2}$ имеем $\cos y=\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x\text{,}$ так что $\sin x=\frac{4\sqrt{3}}{7}\text{;}$ для $x+y=-\frac{\pi }{2}$ получаем $\sin x=-\frac{4\sqrt{3}}{7}\text{.}$ Заметим, что $(\frac{1}{7}{)}^2+(\frac{4\sqrt{3}}{7}{)}^2=\frac{1+48}{49}=1\text{,}$ то есть пары $(\frac{1}{7},\frac{4\sqrt{3}}{7})$ и $(\frac{1}{7},-\frac{4\sqrt{3}}{7})$ лежат на единичной окружности, и на промежутке $(-\pi ,\pi ]$ каждая система $\cos x=\frac{1}{7},\sin x=\pm \frac{4\sqrt{3}}{7}$ задаёт ровно одно значение $x\text{:}$ $x=\arccos \frac{1}{7}$ (первая система) и $x=-\arccos \frac{1}{7}$ (вторая).

Соответствующие $y$ равны $\frac{\pi }{2}-\arccos \frac{1}{7}$ и $-\frac{\pi }{2}+\arccos \frac{1}{7}\text{;}$ пользуясь тождеством $\arcsin t+\arccos t=\frac{\pi }{2}\text{,}$ их можно записать как $\arcsin \frac{1}{7}$ и $-\arcsin \frac{1}{7}\text{.}$ Оба значения принадлежат $(-\pi ,\pi ]\text{.}$ Итак, решений ровно два:

$$(x,y)=(\arccos \frac{1}{7},\arcsin \frac{1}{7}),(x,y)=(-\arccos \frac{1}{7},-\arcsin \frac{1}{7}).$$