Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ
Плоскость π проходит через три вершины прямоугольного параллелепипеда, отсекая от него тетраэдр. Два шара максимально возможных радиусов находятся внутри сферы, описанной около этого параллелепипеда, по разные стороны от плоскости π. Найдите отношение радиусов этих шаров, если известно, что рёбра параллелепипеда равны 1, 2, 4.
Введём систему координат с началом в одной из вершин и осями вдоль рёбер. Пусть вершина A=(0,0,0), а три выходящих из неё ребра имеют длины 1,2,4; тогда соседние вершины суть D=(1,0,0), B=(0,2,0), A′=(0,0,4).
Чтобы плоскость π отсекала от параллелепипеда именно тетраэдр, она должна проходить через три вершины, попарно соединённые рёбрами с одной общей вершиной (то есть через три конца рёбер, выходящих из одной вершины). Возьмём, например, вершины B, D, A′; тогда отсекается тетраэдр с вершиной A. Эти три точки отсекают на координатных осях отрезки 1, 2, 4, поэтому уравнение плоскости в отрезках даёт
1x+2y+4z=1⟺4x+2y+z−4=0.Нормаль к этой плоскости — вектор n=(4,2,1), его длина ∣n∣=16+4+1=21.
Центр O описанной сферы — это центр параллелепипеда, то есть середина его главной диагонали: O=(21,1,2). Радиус сферы равен расстоянию от O до любой вершины, например до A:
R=OA=(21)2+12+22=221.Два шара максимального радиуса, лежащие внутри сферы по разные стороны от π, касаются сферы и касаются плоскости π (а в общей точке — друг друга). Их центры O1,O2 и точки касания со сферой лежат на одной прямой через O, перпендикулярной π. Если r1 — радиус большего шара, r2 — меньшего, а ρ — расстояние от O до плоскости π (равное длине отрезка от центра до плоскости вдоль нормали), то диаметры шаров равны
2r1=R+ρ,2r2=R−ρ,откуда искомое отношение
r2r1=R−ρR+ρ.Остаётся найти ρ — расстояние от O=(21,1,2) до плоскости 4x+2y+z−4=0:
ρ=16+4+14⋅21+2⋅1+1⋅2−4=212.Подставляя R=221 и ρ=212, получаем
r2r1=221−212221+212=21−421+4=1725.