Задача №18021

Найдите все пары вещественных чисел $(a,b)\text{,}$ при которых неравенство

$$3a(x+3{)}^4+8b(x-3{)}^4⩾x^4+54x^2+81$$

справедливо для всех вещественных $x\text{.}$

Ключевое наблюдение состоит в том, что правая часть выражается через те же четвёртые степени, что и левая. Раскрывая $(x+3{)}^4$ и $(x-3{)}^4\text{,}$ замечаем, что они отличаются только слагаемыми с нечётными степенями $x$ (которые в них противоположны), а чётные части совпадают и равны как раз $x^4+54x^2+81\text{.}$ Поэтому

$$(x+3{)}^4+(x-3{)}^4=2(x^4+54x^2+81),\text{то есть}{x}^4+54x^2+81=\frac{(x+3{)}^4+(x-3{)}^4}{2}.$$

Подставив это в правую часть, перепишем неравенство в виде

$$3a(x+3{)}^4+8b(x-3{)}^4⩾\frac{(x+3{)}^4+(x-3{)}^4}{2},$$

или, после переноса всех членов влево,

$$(3a-\frac{1}{2})(x+3{)}^4+(8b-\frac{1}{2})(x-3{)}^4⩾0.\text{\hspace{1em}(*)}$$

Теперь покажем, что $(\ast )$ выполнено при всех $x$ тогда и только тогда, когда оба коэффициента неотрицательны.

Достаточность очевидна: если $3a-\frac{1}{2}⩾0$ и $8b-\frac{1}{2}⩾0\text{,}$ то левая часть $(\ast )$ — сумма двух неотрицательных слагаемых (четвёртые степени неотрицательны), а значит, неотрицательна при любом $x\text{.}$

Необходимость: подставим конкретные значения $x\text{,}$ при которых одна из четвёртых степеней обращается в нуль. При $x=3$ множитель $(x-3{)}^4=0\text{,}$ а $(x+3{)}^4=6^4>0\text{,}$ и из $(\ast )$ следует $3a-\frac{1}{2}⩾0\text{.}$ При $x=-3$ аналогично $(x+3{)}^4=0\text{,}$ $(x-3{)}^4>0\text{,}$ откуда $8b-\frac{1}{2}⩾0\text{.}$

Итак, условие задачи равносильно системе $3a-\frac{1}{2}⩾0\text{,}$ $8b-\frac{1}{2}⩾0\text{,}$ то есть

$$a⩾\frac{1}{6},b⩾\frac{1}{16}.$$