Задача №18018

Средне

Задача #18018

Тригонометрические уравнения•10 баллов

Решите уравнение $5 sin x + 3 cos 2 x = 4 .$

Выразим всё через $sin x .$ Воспользуемся формулой двойного угла в виде $cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x :$

5 sin x + 3 (1 - 2 sin^{2} x) = 4 ⟺ 6 sin^{2} x - 5 sin x + 1 = 0.

Обозначим $t = sin x .$ Квадратное уравнение $6 t^{2} - 5 t + 1 = 0$ имеет корни

t = \frac{5 \pm 25 - 24}{12} = \frac{5 \pm 1}{12}, то есть t = \frac{1}{2} или t = \frac{1}{3} .

Оба корня лежат в отрезке $[- 1, 1],$ поэтому возвращаемся к переменной $x$ и получаем совокупность двух простейших уравнений:

sin x = \frac{1}{2} и sin x = \frac{1}{3} .

Отсюда

x = (- 1)^{k} \frac{π}{6} + k π, k \in Z или x = (- 1)^{k} arcsin \frac{1}{3} + k π, k \in Z .

Проверить решение?

Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка

Решай похожие задачи

Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения

#17510

Задача по теме "Тригонометрические уравнения"

Средне

#17601

Задача по теме "Тригонометрические уравнения"

Средне

#18026

Задача по теме "Тригонометрические уравнения"

Средне

Информация

ЭкзаменЕГЭ

Часть

Раздел

Алгебра

Тип задачи№17 Уравнение

ТемаТригонометрические уравнения

ИсточникДВИ МГУ 2019, июль 2019 года, вариант 2

Откуда задача

ДВИ МГУ

Теги

Тригонометрические уравненияТригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинусСинус и косинус двойного угла

Задача №18018

Средне