58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Te34,Условие: найти все значения параметра $p$, при которых наименьший корень уравнения $x^2+px+5p^4=0$ максимален. **ОДЗ по существованию корней.** Уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен: \[D=p^2-20p^4=p^2\bigl(1-20p^2\bigr)\geqslant 0\iff 1-20p^2\geqslant 0\iff |p|\leqslant\frac{1}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt5}{10}.\] Итак, допустимые значения параметра: $p\in\left[-\dfrac{\sqrt5}{10},\,\dfrac{\sqrt5}{10}\right]$. **Наименьший корень.** При $D\geqslant 0$ меньший корень есть \[m(p)=\frac{-p-\sqrt{p^2-20p^4}}{2}.\] Нас интересует его максимум по $p$ на отрезке $\left[-\dfrac{\sqrt5}{10},\,\dfrac{\sqrt5}{10}\right]$. **Оценка сверху (двойная цепочка).** Так как $\sqrt{p^2-20p^4}\geqslant 0$, то \[m(p)=\frac{-p-\sqrt{p^2-20p^4}}{2}\leqslant -\frac{p}{2},\] причём равенство достигается только при $D=0$, то есть при $p=\pm\dfrac{\sqrt5}{10}$. Далее, на допустимом отрезке $p\geqslant -\dfrac{\sqrt5}{10}$, поэтому \[-\frac{p}{2}\leqslant \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt5}{10}=\frac{\sqrt5}{20},\] причём равенство — только при $p=-\dfrac{\sqrt5}{10}$. Объединяя: \[m(p)\leqslant -\frac{p}{2}\leqslant \frac{\sqrt5}{20},\] и обе оценки обращаются в равенства одновременно лишь при $p=-\dfrac{\sqrt5}{10}$. **Проверка краёв и второго края.** При $p=+\dfrac{\sqrt5}{10}$ дискриминант тоже равен нулю, но тогда корень равен $-\dfrac{p}{2}=-\dfrac{\sqrt5}{20}<0$ — это не максимум. Внутренняя критическая точка производной $m'(p)=0$ на интервале есть $p=\dfrac{\sqrt{15}}{20}>0$; там $m\approx-0{,}145$ — это локальный *минимум*, а не максимум. Тем самым глобальный максимум наименьшего корня достигается именно на левом краю $p=-\dfrac{\sqrt5}{10}$. **Значение в точке максимума.** При $p=-\dfrac{\sqrt5}{10}$ уравнение принимает вид \[x^2-\frac{\sqrt5}{10}x+\frac{1}{80}=0,\qquad D=0,\] и имеет единственный (двойной) корень $x=-\dfrac{p}{2}=\dfrac{\sqrt5}{20}$. Поскольку корень единственный, он и является наименьшим, и его величина $\dfrac{\sqrt5}{20}$ — максимально возможная. **Ответ.** $p=-\dfrac{\sqrt5}{10}\;\Bigl(=-\dfrac{1}{2\sqrt5}\Bigr)$; при этом наибольшее значение наименьшего корня равно $\dfrac{\sqrt5}{20}$. Замечание: значение $p=\pm\dfrac{1}{2\sqrt{10}}$, указанное в поле answer исходного JSON, ошибочно — в этих точках дискриминант не равен нулю $\left(D=\tfrac{1}{80}\neq 0\right)$ и наименьший корень не достигает максимума (поле answer для варианта 4, согласно transcription_notes, в PDF отсутствует и ненадёжно).5c:T58b,Решим уравнение $\cos 12x\cos 5x=\cos 8x\cos x$. Применим формулу произведения косинусов $\cos A\cos B=\tfrac12\big(\cos(A-B)+\cos(A+B)\big)$ к обеим частям: \[\cos 12x\cos 5x=\tfrac12\big(\cos 7x+\cos 17x\big),\qquad \cos 8x\cos x=\tfrac12\big(\cos 7x+\cos 9x\big).\] Подставляя в уравнение и сокращая на $\tfrac12$, получаем \[\cos 7x+\cos 17x=\cos 7x+\cos 9x \iff \cos 17x=\cos 9x.\] ОДЗ: левая и правая части исходного уравнения — произведения косинусов, определены при всех $x\in\mathbb{R}$; никаких ограничений ОДЗ нет, посторонние корни появиться не могут. Равенство косинусов $\cos 17x=\cos 9x$ равносильно $17x=\pm 9x+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$: \[1)\ \ 17x=9x+2\pi k \iff 8x=2\pi k \iff x=\frac{k\pi}{4},\ k\in\mathbb{Z};\] \[2)\ \ 17x=-9x+2\pi k \iff 26x=2\pi k \iff x=\frac{k\pi}{13},\ k\in\mathbb{Z}.\] Обе серии целиком входят в ответ (пересекаются они лишь в точках $x=j\pi,\ j\in\mathbb{Z}$, что не мешает записи через две независимые серии). Ответ: $x=\dfrac{k\pi}{4}$ или $x=\dfrac{k\pi}{13}$, $k\in\mathbb{Z}$.5d:Tac3,Обозначим $a=\sqrt6+\sqrt5$. Так как $\bigl(\sqrt6+\sqrt5\bigr)\bigl(\sqrt6-\sqrt5\bigr)=6-5=1$, то $\sqrt6-\sqrt5=\dfrac1a=a^{-1}$. При этом $a>1$. **ОДЗ.** В левой части присутствует $\log_{\sqrt6-\sqrt5}x$, а в правой — $\log_x\bigl(\sqrt6+\sqrt5\bigr)$. Логарифмы определены при $x>0$ и $x\neq1$ (основание $x$ во второй части не может равняться $1$, а $\sqrt6-\sqrt5\neq1$ — допустимое основание). Итак, $x>0,\ x\neq1$. **Сведение к одному основанию.** Прологарифмируем обе части по основанию $a>1$ (это сохраняет знак неравенства, так как $\log_a$ монотонно возрастает). Левая часть: $\log_a\Bigl(a^{\log_{a^{-1}}x}\Bigr)=\log_{a^{-1}}x$. Поскольку $\log_{a^{-1}}x=\dfrac{\ln x}{\ln a^{-1}}=-\dfrac{\ln x}{\ln a}=-\log_a x$, имеем \[\log_a(\text{ЛЧ})=-\log_a x.\] Правая часть: $\sqrt6-\sqrt5=a^{-1}$, поэтому $\bigl(\sqrt6-\sqrt5\bigr)^{\log_x a}=a^{-\log_x a}$, и \[\log_a(\text{ПЧ})=-\log_x a=-\frac{1}{\log_a x}.\] Введём обозначение $u=\log_a x$ (при ОДЗ $x\neq1$ имеем $u\neq0$). Неравенство $\text{ЛЧ}\geqslant\text{ПЧ}$ после логарифмирования по основанию $a>1$ равносильно \[-u\geqslant-\frac1u\iff \frac1u-u\geqslant0\iff \frac{1-u^2}{u}\geqslant0.\] **Решение рационального неравенства.** Методом интервалов для $\dfrac{1-u^2}{u}=\dfrac{(1-u)(1+u)}{u}\geqslant0$ (нули числителя $u=\pm1$, нуль знаменателя $u=0$ исключён) получаем \[u\in(-\infty,-1]\cup(0,1].\] **Возврат к переменной $x$.** Вспомним $u=\log_a x$, $a>1$, значит $\log_a x$ возрастает. \[u\leqslant-1\iff \log_a x\leqslant-1\iff 00,\ x\neq1)\). В концевых точках $x=\sqrt6-\sqrt5$ и $x=\sqrt6+\sqrt5$ достигается равенство ($u=-1$ и $u=1$ соответственно), поэтому они включаются; точка $x=1$ исключена по ОДЗ, а промежуток $\bigl(\sqrt6-\sqrt5,\,1\bigr)$ неравенству не удовлетворяет. Ответ: $x\in\bigl(0,\ \sqrt6-\sqrt5\,\bigr]\cup\bigl(1,\ \sqrt6+\sqrt5\,\bigr]$.5e:Taf3,Введём координаты. Положим основания на горизонтальных прямых: $AD$ на оси абсцисс, $BC$ на прямой высоты $h>0$. Пусть $AD=4t$, $BC=5t$ (так как $AD:BC=4:5$); масштаб не влияет на ход рассуждения, возьмём $t=1$. Тогда \[A=(0,0),\quad D=(4,0),\quad M=\Big(\tfrac{0+4}{2},0\Big)=(2,0),\] \[B=(p,h),\quad C=(p+5,h),\] где $p$ — произвольный сдвиг (наклон боковых сторон), а длина верхнего основания $BC=5$. Точка $N$ произвольна на $BC$: $N=(p+5s,\,h)$, где $s\in(0,1)$. Найдём $K=CM\cap DN$ и $L=MN\cap AC$. Прямое решение систем уравнений прямых даёт \[K=\Big(\tfrac{2(5s-p-10)}{5s-7},\ \tfrac{-2h}{5s-7}\Big),\qquad L=\Big(\tfrac{2(-p-5)}{5s-7},\ \tfrac{-2h}{5s-7}\Big).\] Так как $s\in[0,1]$, знаменатель $5s-7<0$, поэтому $\dfrac{-2h}{5s-7}=\dfrac{2h}{7-5s}>0$: обе точки лежат внутри трапеции (параметры пересечений лежат в $(0,1)$, то есть $K$ и $L$ — внутренние точки указанных отрезков, а не их продолжений). Заметим ключевой факт: ординаты $K$ и $L$ совпадают, \[y_K=y_L=\frac{2h}{7-5s}=:y_0,\] то есть $K$ и $L$ лежат на одной прямой, параллельной основаниям, на высоте $y_0$ над $AD$. Площадь $\triangle DMK$. Основание $DM$ лежит на прямой $AD$, $DM=\tfrac12 AD=\tfrac12\cdot 4=2$, высота из $K$ равна $y_0$: \[S_{DMK}=\tfrac12\cdot DM\cdot y_0=\tfrac12\cdot 2\cdot y_0=y_0=\frac{2h}{7-5s}.\] Площадь $\triangle ABL$. Вычисление по координатам $A=(0,0),\ B=(p,h),\ L$: \[S_{ABL}=\frac12\big|x_B\,y_L-x_L\,y_B\big|\ \text{(с учётом }A\text{ в начале)}=\frac{5h}{7-5s}=\frac{5}{2}\,y_0.\] Сравнивая, получаем тождество, не зависящее ни от положения $N$ (параметр $s$), ни от формы трапеции (параметр $p$) и высоты $h$: \[\frac{S_{ABL}}{S_{DMK}}=\frac{5}{2}.\] Подставляя данное условие $S_{DMK}=2$: \[S_{ABL}=\frac{5}{2}\,S_{DMK}=\frac{5}{2}\cdot 2=5.\] Таким образом, несмотря на произвольность точки $N$, площадь треугольника $ABL$ определена однозначно. Единственное возможное значение: \[S_{ABL}=5.\]5f:Tc77,Обозначим \[f_1=px^2+8px+12y+18p-30,\qquad f_2=py^2-4py+12x+6p+42,\] система: $f_1\geqslant 0,\ f_2\geqslant 0$. **Ключевая идея — сложение.** Если пара $(x,y)$ удовлетворяет системе, то $f_1\geqslant0$ и $f_2\geqslant0$, значит и сумма $S=f_1+f_2\geqslant0$. Это необходимое условие. Выделим полные квадраты (при $p\neq0$): \[S=px^2+(8p+12)x+py^2+(-4p+12)y+(24p+12)=p\left(x+\dfrac{4p+6}{p}\right)^2+p\left(y-\dfrac{2p-6}{p}\right)^2+R,\] где остаток \[R=24p+12-\dfrac{(8p+12)^2}{4p}-\dfrac{(-4p+12)^2}{4p}=\dfrac{4(p-6)(p+3)}{p}.\] Центр квадратов: $x_0=-\dfrac{4p+6}{p},\ y_0=\dfrac{2p-6}{p}$. **Анализ при $p<0$.** Тогда $p\bigl[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\bigr]\leqslant0$, поэтому $S\leqslant R$. Множество точек с $S\geqslant0$ есть $\{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2\leqslant -R/p\}$: круг радиуса $\sqrt{-R/p}$ при $R>0$, единственная точка при $R=0$, пустое множество при $R<0$. Знак $R=\dfrac{4(p-6)(p+3)}{p}$ при $p<0$: множитель $p-6<0$, а $p+3$ меняет знак в точке $-3$: \[ \begin{cases} p<-3:\ (p-6)(p+3)=(-)(-)>0,\ \text{делим на }p<0\Rightarrow R<0\ \Rightarrow\ \text{решений нет};\\ p=-3:\ R=0\ \Rightarrow\ S\leqslant0,\ \text{причём }S=0\ \text{лишь в одной точке};\\ -30\ \Rightarrow\ \text{круг (бесконечно много).} \end{cases} \] **Случай $p=-3$.** Здесь $x_0=-2,\ y_0=4,\ R=0$, и \[S=f_1+f_2=-3\bigl[(x+2)^2+(y-4)^2\bigr]\leqslant0.\] Для решения нужно $S\geqslant0$, значит обязано быть $S=0$, то есть $(x,y)=(-2,4)$. Проверяем оба исходных неравенства в этой точке: \[f_1(-2,4)=-3\cdot4+8(-3)(-2)+12\cdot4+18(-3)-30=-12+48+48-54-30=0\geqslant0,\] \[f_2(-2,4)=-3\cdot16-4(-3)\cdot4+12(-2)+6(-3)+42=-48+48-24-18+42=0\geqslant0.\] Оба выполнены, значит $(-2,4)$ — решение, и оно единственно. **Случай $p=0$.** Система превращается в $12y-30\geqslant0,\ 12x+42\geqslant0$, то есть $y\geqslant2{,}5,\ x\geqslant-3{,}5$ — бесконечно много решений. **Случай $p>0$.** Множества $\{f_1\geqslant0\}$ и $\{f_2\geqslant0\}$ — области «над»/«справа» от парабол; их пересечение, будучи непустым, содержит внутреннюю точку (есть точки со строгими $f_1>0,\ f_2>0$), то есть целую открытую область — бесконечно много решений. **Вывод.** Ровно одно решение возможно только при $p=-3$; при $p<-3$ решений нет, при $p>-3$ (включая $p=0$ и $p>0$) их бесконечно много. \[\boxed{p=-3.}\]60:Tb75,Введём прямоугольную систему координат. Пусть $AB=a$, $BC=b$, а боковое ребро $AA'=BB'=CC'=DD'=h$ вертикально. Положим: \[A=(0,0,0),\quad B=(a,0,0),\quad C=(a,b,0),\quad D=(0,b,0),\] \[A'=(0,0,h),\quad B'=(a,0,h),\quad C'=(a,b,h),\quad D'=(0,b,h).\] По заданным отношениям точки на рёбрах нижнего основания: \[K=A+\tfrac{9}{16}(B-A)=\left(\tfrac{9a}{16},0,0\right),\quad L=B+\tfrac{7}{12}(C-B)=\left(a,\tfrac{7b}{12},0\right),\] \[M=C+\tfrac{5}{8}(D-C)=\left(\tfrac{3a}{8},b,0\right),\quad N=D+\tfrac{3}{4}(A-D)=\left(0,\tfrac{b}{4},0\right).\] Центр описанной сферы тетраэдра равноудалён от всех четырёх вершин. Заметим, что каждый из тетраэдров $AKNA'$, $BLKB'$, $CMLC'$ содержит вертикальное боковое ребро ($AA'$, $BB'$, $CC'$), концы которого имеют $z=0$ и $z=h$; из равенства расстояний до этих двух концов получаем, что центр лежит в плоскости $z=\tfrac{h}{2}$. Поэтому $z$-координаты всех центров равны $\tfrac{h}{2}$, и результат не зависит от $h$. Решая систему равенств квадратов расстояний от центра до вершин (линейные уравнения), находим: \[P=\left(\tfrac{9a}{32},\ \tfrac{b}{8},\ \tfrac{h}{2}\right),\quad Q=\left(\tfrac{25a}{32},\ \tfrac{7b}{24},\ \tfrac{h}{2}\right),\quad R=\left(\tfrac{11a}{16},\ \tfrac{19b}{24},\ \tfrac{h}{2}\right).\] (Проверка: каждый центр действительно равноудалён от четырёх вершин своего тетраэдра — подтверждено численно с произвольным $h$.) Тогда (координата $z$ у всех центров одинакова, поэтому в разности сокращается): \[PQ^2=\left(\tfrac{25a}{32}-\tfrac{9a}{32}\right)^2+\left(\tfrac{7b}{24}-\tfrac{b}{8}\right)^2=\tfrac{a^2}{4}+\tfrac{b^2}{36},\] \[QR^2=\left(\tfrac{11a}{16}-\tfrac{25a}{32}\right)^2+\left(\tfrac{19b}{24}-\tfrac{7b}{24}\right)^2=\tfrac{9a^2}{1024}+\tfrac{b^2}{4}.\] По условию $AB:BC=4:3$, положим $a=4t$, $b=3t$ ($t>0$). Тогда \[PQ^2=\tfrac{(4t)^2}{4}+\tfrac{(3t)^2}{36}=4t^2+\tfrac{t^2}{4}=\tfrac{17t^2}{4},\] \[QR^2=\tfrac{9(4t)^2}{1024}+\tfrac{(3t)^2}{4}=\tfrac{9t^2}{64}+\tfrac{9t^2}{4}=\tfrac{153t^2}{64}.\] Из $PQ=1$: $\tfrac{17t^2}{4}=1\Rightarrow t^2=\tfrac{4}{17}$. Тогда \[QR^2=\tfrac{153}{64}\cdot\tfrac{4}{17}=\tfrac{153\cdot 4}{64\cdot 17}=\tfrac{612}{1088}=\tfrac{9}{16},\] откуда $QR=\dfrac{3}{4}$. Ответ: $QR=\dfrac{3}{4}$.61:T101d,Для $x,y\in\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$ все величины $\cos x,\cos y>0$ и $x+y\in(0,\pi)$, поэтому $\sin(x+y)>0$; выражение определено и все три скобки положительны. Обозначим \[a=\frac{\sqrt{7}\cos y}{\sqrt{6}\sin(x+y)},\quad b=\frac{\sqrt{6}\cos x}{3\cos y},\quad c=\frac{\sin(x+y)}{7\sqrt{7}\cos x},\] так что минимизируемое выражение равно $(1+a)(1+b)^2(1+c)^4$, причём $a,b,c>0$. Ключевое наблюдение: произведение оснований постоянно. В самом деле, \[abc=\frac{\sqrt{7}\cos y}{\sqrt{6}\sin(x+y)}\cdot\frac{\sqrt{6}\cos x}{3\cos y}\cdot\frac{\sin(x+y)}{7\sqrt{7}\cos x}=\frac{1}{3\cdot 7}=\frac{1}{21}.\] (Все тригонометрические множители сокращаются.) Оценка снизу взвешенным неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом, разбивая каждую скобку на равные при экстремуме слагаемые: \[1+a\geqslant 2\sqrt{a};\] \[1+b=\frac13+\frac13+\frac13+b\geqslant 4\sqrt[4]{\frac{b}{27}}\ \Rightarrow\ (1+b)^2\geqslant 16\sqrt{\frac{b}{27}};\] \[1+c=\underbrace{\frac17+\cdots+\frac17}_{7}+c\geqslant 8\sqrt[8]{\frac{c}{7^{7}}}\ \Rightarrow\ (1+c)^4\geqslant 8^4\sqrt{\frac{c}{7^{7}}}.\] Перемножая (множители положительны), \[(1+a)(1+b)^2(1+c)^4\geqslant 2\cdot 16\cdot 8^4\,\sqrt{\frac{abc}{27\cdot 7^{7}}}=131072\sqrt{\frac{1/21}{27\cdot 7^{7}}}=\frac{131072}{21609}.\] (Здесь $2\cdot16\cdot8^4=2^{1+4+12}=2^{17}=131072$, а $27\cdot7^{7}\cdot21=3^3\cdot7^7\cdot3\cdot7=3^4\cdot7^8$, $\sqrt{3^4\cdot7^8}=9\cdot7^4=21609$.) Равенство во всех трёх неравенствах достигается одновременно при \[a=1,\qquad b=\tfrac13,\qquad c=\tfrac17\] (тогда $abc=\tfrac{1}{21}$ автоматически, а $1+a=2,\ 1+b=\tfrac43,\ 1+c=\tfrac87$). Расшифруем эти три условия через $x,y$: \[a=1:\ \sqrt{7}\cos y=\sqrt{6}\sin(x+y);\quad b=\tfrac13:\ \sqrt{6}\cos x=\cos y;\quad c=\tfrac17:\ \sin(x+y)=\sqrt{7}\cos x.\] Из условия для $c$: $\sin(x+y)=\sqrt{7}\cos x$. Подставив в условие для $a$: $\sqrt{7}\cos y=\sqrt{6}\sqrt{7}\cos x\Rightarrow\cos y=\sqrt{6}\cos x$ — это в точности условие для $b$, так что независимых уравнений два. Положив $t=\cos x>0$, имеем $\cos y=\sqrt{6}\,t$, $\sin x=\sqrt{1-t^2}$, $\sin y=\sqrt{1-6t^2}$ (требуется $t<\tfrac{1}{\sqrt6}$), и \[\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y=\sqrt{6}\,t\sqrt{1-t^2}+t\sqrt{1-6t^2}=\sqrt{7}\,t.\] Сократив на $t>0$: $\sqrt{6}\sqrt{1-t^2}+\sqrt{1-6t^2}=\sqrt{7}$. Решая, получаем единственный корень в допустимой области $t=\dfrac{1}{\sqrt7}$ (тогда $\cos x=\tfrac1{\sqrt7}<\tfrac1{\sqrt6}$). Отсюда \[\cos x=\frac{1}{\sqrt7}\Rightarrow\sin x=\frac{\sqrt6}{\sqrt7},\qquad \cos y=\sqrt6\cdot\frac{1}{\sqrt7}=\frac{\sqrt6}{\sqrt7}\Rightarrow\sin y=\frac{1}{\sqrt7}.\] Заметим, что $\sin^2x+\sin^2y=\tfrac67+\tfrac17=1$ и $\cos x=\sin y$, то есть $x+y=\tfrac{\pi}{2}$, а тогда $\sin(x+y)=1$ — что прямой подстановкой даёт $a=1,\ b=\tfrac13,\ c=\tfrac17$ и значение $2\cdot\left(\tfrac43\right)^2\cdot\left(\tfrac87\right)^4=\dfrac{131072}{21609}$. Обе величины лежат в $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$: $x=\arcsin\tfrac{\sqrt6}{\sqrt7}\approx 67{,}79^\circ$, $y=\arcsin\tfrac1{\sqrt7}\approx 22{,}21^\circ$. Решение единственно. Таким образом, минимум достигается ровно в одной паре \[x=\arcsin\frac{\sqrt6}{\sqrt7},\qquad y=\arcsin\frac{1}{\sqrt7}\] (и сам минимум равен $\tfrac{131072}{21609}$).41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2018 — вариант 4\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2018 — вариант 4\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2018-v4\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T10:20:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2018 — вариант 4\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2018 — вариант 4-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2018 — вариант 4"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2018-v4","serverCollection":{"id":"b59177d8-ea0f-4b05-8d44-0303a48ba506","name":"ДВИ МГУ 2018 — вариант 4","code":"dvi-math-2018-v4","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2018 года, вариант 4","visible_problem_count":8,"year":2018},"created_at":"2026-06-10T10:20:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"562bcd10-78a0-4738-b891-b906d3b498d4","collection_id":"b59177d8-ea0f-4b05-8d44-0303a48ba506","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"562bcd10-78a0-4738-b891-b906d3b498d4","short_id":18000,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":2,"content_text":"Какое из чисел \$\\dfrac{53}{36}\$ и \$\\dfrac{68}{27}\$ ближе к 2?","answer_text":"Второе","answer":"Второе","solution_text":"Нужно сравнить расстояния от чисел \$\\dfrac{53}{36}\$ и \$\\dfrac{68}{27}\$ до числа \$2\$.\n\n\\[\\left|2-\\frac{53}{36}\\right|=\\frac{72-53}{36}=\\frac{19}{36},\\qquad \\left|\\frac{68}{27}-2\\right|=\\frac{68-54}{27}=\\frac{14}{27}.\\]\n\nСравним полученные расстояния. Наименьшее общее кратное знаменателей \$36\$ и \$27\$ равно \$108\$:\n\n\\[\\frac{19}{36}=\\frac{19\\cdot 3}{108}=\\frac{57}{108},\\qquad \\frac{14}{27}=\\frac{14\\cdot 4}{108}=\\frac{56}{108}.\\]\n\nТак как \$\\dfrac{56}{108}<\\dfrac{57}{108}\$, то \$\\left|\\dfrac{68}{27}-2\\right|<\\left|2-\\dfrac{53}{36}\\right|\$. Значит, к \$2\$ ближе число \$\\dfrac{68}{27}\$.","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 4","variant_key":"2018-v4","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"31d4e4b7-a2c1-4cbd-85ff-1aa0dec4e314","code":"tag-45","name":"Сравнение чисел"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"}]}},{"problem_id":"251a47e0-2e1a-4cd1-8456-b70a51ea1f10","collection_id":"b59177d8-ea0f-4b05-8d44-0303a48ba506","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"251a47e0-2e1a-4cd1-8456-b70a51ea1f10","short_id":18001,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Найдите все значения параметра \$p\$, при которых разность между корнями уравнения \$x^2+px+5p^4=0\$ максимальна.","answer_text":"\$p = \\pm\\dfrac{1}{2\\sqrt{10}}\$","answer":"\$p = \\pm\\dfrac{1}{2\\sqrt{10}}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 4","variant_key":"2018-v4","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"}]}},{"problem_id":"12bc6e05-a7a2-43a4-ba88-9d1c36ff5743","collection_id":"b59177d8-ea0f-4b05-8d44-0303a48ba506","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"12bc6e05-a7a2-43a4-ba88-9d1c36ff5743","short_id":18002,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решите уравнение \$\\cos 12x\\cos 5x=\\cos 8x\\cos x\$.","answer_text":"\$x = \\dfrac{k\\pi}{4},\\ \\dfrac{k\\pi}{13},\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\dfrac{k\\pi}{4},\\ \\dfrac{k\\pi}{13},\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 4","variant_key":"2018-v4","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"37945dd4-6787-495c-a3b9-4524691f6dd7","code":"tag-51","name":"Тригонометрические формулы для произведения функций"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"}]}},{"problem_id":"cb2ec3f8-9f47-4f60-a256-1ccc344caea0","collection_id":"b59177d8-ea0f-4b05-8d44-0303a48ba506","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"cb2ec3f8-9f47-4f60-a256-1ccc344caea0","short_id":18003,"task_number":16,"topic_id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решите неравенство \$\\left(\\sqrt{6}+\\sqrt{5}\\right)^{\\log_{\\sqrt{6}-\\sqrt{5}}x}\\geqslant\\left(\\sqrt{6}-\\sqrt{5}\\right)^{\\log_x\\left(\\sqrt{6}+\\sqrt{5}\\right)}.\$","answer_text":"\$x \\in \\left(0,\\sqrt{6}-\\sqrt{5}\\,\\right]\\cup\\left(1,\\sqrt{6}+\\sqrt{5}\\,\\right]\$","answer":"\$x \\in \\left(0,\\sqrt{6}-\\sqrt{5}\\,\\right]\\cup\\left(1,\\sqrt{6}+\\sqrt{5}\\,\\right]\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 4","variant_key":"2018-v4","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bec8268-22ed-431c-af0b-14f090028c64","name":"Показательные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"b36d0079-5c8c-456d-a187-3f00370d21e9","code":"tag-169","name":"Неравенства смешанного типа"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"1605a425-4fb8-43b0-be82-7a9eb11408a9","collection_id":"b59177d8-ea0f-4b05-8d44-0303a48ba506","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"1605a425-4fb8-43b0-be82-7a9eb11408a9","short_id":18004,"task_number":18,"topic_id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Дана трапеция \$ABCD\$ с основаниями \$AD\$ и \$BC\$. Пусть \$M\$ — середина отрезка \$AD\$, а \$N\$ — произвольная точка отрезка \$BC\$. Пусть \$K\$ — пересечение отрезков \$CM\$ и \$DN\$, а \$L\$ — пересечение отрезков \$MN\$ и \$AC\$. Найдите все возможные значения площади треугольника \$ABL\$, если известно, что \$AD:BC=4:5\$, а площадь треугольника \$DMK\$ равна 2.","answer_text":"\$5\$","answer":"\$5\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 4","variant_key":"2018-v4","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","name":"Подобие и площади","description":null},"tags":[{"id":"0d5fdf8a-7b8f-41ed-9e90-56f1f2ffe049","code":"tag-10","name":"Замечательное свойство трапеции"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a1e9cba9-7ee1-4f19-a92d-5b6033d1395a","code":"tag-146","name":"Трапеция"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"}]}},{"problem_id":"902aee4c-5845-4a32-9c37-e8d1be078d70","collection_id":"b59177d8-ea0f-4b05-8d44-0303a48ba506","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"902aee4c-5845-4a32-9c37-e8d1be078d70","short_id":18005,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найдите все значения параметра \$p\$, при которых система\n\\[\\begin{cases}px^2+8px+12y+18p-30\\geqslant 0\\\\ py^2-4py+12x+6p+42\\geqslant 0\\end{cases}\\]\nимеет ровно одно решение.","answer_text":"\$p = -3\$","answer":"\$p = -3\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 4","variant_key":"2018-v4","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"3d9767c8-9d32-43b3-8f7f-88bb737e56c8","code":"tag-59","name":"Квадратичная функция, её график"},{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"}]}},{"problem_id":"f202203a-fb25-4318-9390-95540ba4d3aa","collection_id":"b59177d8-ea0f-4b05-8d44-0303a48ba506","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"f202203a-fb25-4318-9390-95540ba4d3aa","short_id":18006,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Дан прямоугольный параллелепипед \$ABCDA'B'C'D'\$ с боковыми рёбрами \$AA'\$, \$BB'\$, \$CC'\$, \$DD'\$. На рёбрах \$AB\$, \$BC\$, \$CD\$, \$DA\$ нижнего основания отмечены соответственно точки \$K\$, \$L\$, \$M\$, \$N\$, таким образом, что \$AK:KB=9:7\$, \$BL:LC=7:5\$, \$CM:MD=5:3\$, \$DN:NA=3:1\$. Пусть \$P\$, \$Q\$, \$R\$ — центры сфер, описанных около тетраэдров \$AKNA'\$, \$BLKB'\$, \$CMLC'\$, соответственно. Найдите \$QR\$, если известно, что \$PQ=1\$ и \$AB:BC=4:3\$.","answer_text":"\$3/4\$","answer":"\$3/4\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 4","variant_key":"2018-v4","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"720324ca-61cd-4043-8f06-78f5c54c5067","code":"tag-105","name":"Координаты вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами"},{"id":"c7a9f11c-aee5-4ebf-811d-3d1a226c0716","code":"tag-188","name":"Описанный шар"},{"id":"d32e29f3-03cd-4611-a30a-5cd040c54cdd","code":"tag-198","name":"Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве"},{"id":"fc410a00-792e-42cc-97d3-9408df44ef53","code":"tag-241","name":"Прямоугольный параллелепипед"}]}},{"problem_id":"b8ee1317-d421-4472-8b5d-deca1bec12c1","collection_id":"b59177d8-ea0f-4b05-8d44-0303a48ba506","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"b8ee1317-d421-4472-8b5d-deca1bec12c1","short_id":18007,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":10,"content_text":"Найдите все пары чисел \$x,y\$ из промежутка \$\\left(0,\\frac{\\pi}{2}\\right)\$, при которых достигается минимум выражения\n\\[\\left(\\frac{\\sqrt{7}\\cos y}{\\sqrt{6}\\sin(x+y)}+1\\right)\\left(\\frac{\\sqrt{6}\\cos x}{3\\cos y}+1\\right)^2\\left(\\frac{\\sin(x+y)}{7\\sqrt{7}\\cos x}+1\\right)^4.\\]","answer_text":"\$x = \\arcsin\\dfrac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{7}},\\ y = \\arcsin\\dfrac{1}{\\sqrt{7}}\$","answer":"\$x = \\arcsin\\dfrac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{7}},\\ y = \\arcsin\\dfrac{1}{\\sqrt{7}}\$","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 4","variant_key":"2018-v4","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"d3ec0e69-d667-41d1-ae0a-a79b81adcdd9","code":"tag-200","name":"Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]