Задача №18002

Решите уравнение $\cos 12x\cos 5x=\cos 8x\cos x\text{.}$

Решим уравнение $\cos 12x\cos 5x=\cos 8x\cos x\text{.}$

Применим формулу произведения косинусов $\cos A\cos B=\frac{1}{2}(\cos (A-B)+\cos (A+B))$ к обеим частям:

Подставляя в уравнение и сокращая на $\frac{1}{2}\text{,}$ получаем

ОДЗ: левая и правая части исходного уравнения — произведения косинусов, определены при всех $x\in \mathbb{R}\text{;}$ никаких ограничений ОДЗ нет, посторонние корни появиться не могут.

Равенство косинусов $\cos 17x=\cos 9x$ равносильно $17x=\pm 9x+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{:}$

Обе серии целиком входят в ответ (пересекаются они лишь в точках $x=j\pi ,j\in \mathbb{Z}\text{,}$ что не мешает записи через две независимые серии).

Ответ: $x=\frac{k\pi }{4}$ или $x=\frac{k\pi }{13}\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$