Задача №18003

Решите неравенство ${\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}^{{\log }_{\sqrt{6}-\sqrt{5}}x}⩾{\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)}^{{\log }_x\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}.$

Обозначим $a=\sqrt{6}+\sqrt{5}\text{.}$ Так как $(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})=6-5=1\text{,}$ то $\sqrt{6}-\sqrt{5}=\frac{1}{a}=a^{-1}\text{.}$ При этом $a>1\text{.}$

ОДЗ. В левой части присутствует ${\log }_{\sqrt{6}-\sqrt{5}}x\text{,}$ а в правой — ${\log }_x(\sqrt{6}+\sqrt{5})\text{.}$ Логарифмы определены при $x>0$ и $x\ne 1$ (основание $x$ во второй части не может равняться $1\text{,}$ а $\sqrt{6}-\sqrt{5}\ne 1$ — допустимое основание). Итак, $x>0,x\ne 1\text{.}$

Сведение к одному основанию. Прологарифмируем обе части по основанию $a>1$ (это сохраняет знак неравенства, так как ${\log }_a$ монотонно возрастает). Левая часть: ${\log }_a\left(a^{{\log }_{a^{-1}}x}\right)={\log }_{a^{-1}}x\text{.}$ Поскольку ${\log }_{a^{-1}}x=\frac{\ln x}{\ln a^{-1}}=-\frac{\ln x}{\ln a}=-{\log }_{a}x\text{,}$ имеем

Правая часть: $\sqrt{6}-\sqrt{5}=a^{-1}\text{,}$ поэтому $(\sqrt{6}-\sqrt{5}{)}^{{\log }_{x}a}=a^{-{\log }_{x}a}\text{,}$ и

Введём обозначение $u={\log }_{a}x$ (при ОДЗ $x\ne 1$ имеем $u\ne 0$). Неравенство $\text{ЛЧ}⩾\text{ПЧ}$ после логарифмирования по основанию $a>1$ равносильно

Решение рационального неравенства. Методом интервалов для $\frac{1-u^2}{u}=\frac{(1-u)(1+u)}{u}⩾0$ (нули числителя $u=\pm 1\text{,}$ нуль знаменателя $u=0$ исключён) получаем

Возврат к переменной $x\text{.}$ Вспомним $u={\log }_{a}x\text{,}$ $a>1\text{,}$ значит ${\log }_{a}x$ возрастает.

Оба промежутка лежат в ОДЗ $(x>0,x\ne 1)\text{.}$ В концевых точках $x=\sqrt{6}-\sqrt{5}$ и $x=\sqrt{6}+\sqrt{5}$ достигается равенство ($u=-1$ и $u=1$ соответственно), поэтому они включаются; точка $x=1$ исключена по ОДЗ, а промежуток $(\sqrt{6}-\sqrt{5},1)$ неравенству не удовлетворяет.

Ответ: $x\in (0,\sqrt{6}-\sqrt{5}]\cup (1,\sqrt{6}+\sqrt{5}]\text{.}$