Задача №18004

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC\text{.}$ Пусть $M$ — середина отрезка $AD\text{,}$ а $N$ — произвольная точка отрезка $BC\text{.}$ Пусть $K$ — пересечение отрезков $CM$ и $DN\text{,}$ а $L$ — пересечение отрезков $MN$ и $AC\text{.}$ Найдите все возможные значения площади треугольника $ABL\text{,}$ если известно, что $AD:BC=4:5\text{,}$ а площадь треугольника $DMK$ равна 2.

Введём координаты. Положим основания на горизонтальных прямых: $AD$ на оси абсцисс, $BC$ на прямой высоты $h>0\text{.}$ Пусть $AD=4t\text{,}$ $BC=5t$ (так как $AD:BC=4:5$); масштаб не влияет на ход рассуждения, возьмём $t=1\text{.}$ Тогда

где $p$ — произвольный сдвиг (наклон боковых сторон), а длина верхнего основания $BC=5\text{.}$ Точка $N$ произвольна на $BC\text{:}$ $N=(p+5s,h)\text{,}$ где $s\in (0,1)\text{.}$

Найдём $K=CM\cap DN$ и $L=MN\cap AC\text{.}$ Прямое решение систем уравнений прямых даёт

Так как $s\in [0,1]\text{,}$ знаменатель $5s-7<0\text{,}$ поэтому $\frac{-2h}{5s-7}=\frac{2h}{7-5s}>0\text{:}$ обе точки лежат внутри трапеции (параметры пересечений лежат в $(0,1)\text{,}$ то есть $K$ и $L$ — внутренние точки указанных отрезков, а не их продолжений). Заметим ключевой факт: ординаты $K$ и $L$ совпадают,

то есть $K$ и $L$ лежат на одной прямой, параллельной основаниям, на высоте $y_0$ над $AD\text{.}$

Площадь $△DMK\text{.}$ Основание $DM$ лежит на прямой $AD\text{,}$ $DM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot 4=2\text{,}$ высота из $K$ равна $y_0\text{:}$

Площадь $△ABL\text{.}$ Вычисление по координатам $A=(0,0),B=(p,h),L\text{:}$

Сравнивая, получаем тождество, не зависящее ни от положения $N$ (параметр $s$), ни от формы трапеции (параметр $p$) и высоты $h\text{:}$

Подставляя данное условие $S_{DMK}=2\text{:}$

Таким образом, несмотря на произвольность точки $N\text{,}$ площадь треугольника $ABL$ определена однозначно. Единственное возможное значение: