Задача №18007

Найдите все пары чисел $x,y$ из промежутка $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{,}$ при которых достигается минимум выражения

$$\left(\frac{\sqrt{7}\cos y}{\sqrt{6}\sin (x+y)}+1\right){\left(\frac{\sqrt{6}\cos x}{3\cos y}+1\right)}^2{\left(\frac{\sin (x+y)}{7\sqrt{7}\cos x}+1\right)}^4.$$

Для $x,y\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ все величины $\cos x,\cos y>0$ и $x+y\in (0,\pi )\text{,}$ поэтому $\sin (x+y)>0\text{;}$ выражение определено и все три скобки положительны. Обозначим

$$a=\frac{\sqrt{7}\cos y}{\sqrt{6}\sin (x+y)},b=\frac{\sqrt{6}\cos x}{3\cos y},c=\frac{\sin (x+y)}{7\sqrt{7}\cos x},$$

так что минимизируемое выражение равно $(1+a)(1+b{)}^2(1+c{)}^4\text{,}$ причём $a,b,c>0\text{.}$

Ключевое наблюдение: произведение оснований постоянно. В самом деле,

$$abc=\frac{\sqrt{7}\cos y}{\sqrt{6}\sin (x+y)}\cdot \frac{\sqrt{6}\cos x}{3\cos y}\cdot \frac{\sin (x+y)}{7\sqrt{7}\cos x}=\frac{1}{3\cdot 7}=\frac{1}{21}.$$

(Все тригонометрические множители сокращаются.)

Оценка снизу взвешенным неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом, разбивая каждую скобку на равные при экстремуме слагаемые:

$$1+a⩾2\sqrt{a};$$ $$1+b=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+b⩾4\sqrt[4]{\frac{b}{27}}\Rightarrow (1+b{)}^2⩾16\sqrt{\frac{b}{27}};$$ $$1+c=\underset{7}{\underbrace{\frac{1}{7}+\cdots +\frac{1}{7}}}+c⩾8\sqrt[8]{\frac{c}{7^7}}\Rightarrow (1+c{)}^4⩾8^4\sqrt{\frac{c}{7^7}}.$$

Перемножая (множители положительны),

$$(1+a)(1+b{)}^2(1+c{)}^4⩾2\cdot 16\cdot 8^4\sqrt{\frac{abc}{27\cdot 7^7}}=131072\sqrt{\frac{1/21}{27\cdot 7^7}}=\frac{131072}{21609}.$$

(Здесь $2\cdot 16\cdot 8^4=2^{1+4+12}=2^{17}=131072\text{,}$ а $27\cdot 7^7\cdot 21=3^3\cdot 7^7\cdot 3\cdot 7=3^4\cdot 7^8\text{,}$ $\sqrt{3^4\cdot 7^8}=9\cdot 7^4=21609\text{.}$)

Равенство во всех трёх неравенствах достигается одновременно при

$$a=1,b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{7}$$

(тогда $abc=\frac{1}{21}$ автоматически, а $1+a=2,1+b=\frac{4}{3},1+c=\frac{8}{7}$). Расшифруем эти три условия через $x,y\text{:}$

$$a=1:\sqrt{7}\cos y=\sqrt{6}\sin (x+y);b=\frac{1}{3}:\sqrt{6}\cos x=\cos y;c=\frac{1}{7}:\sin (x+y)=\sqrt{7}\cos x.$$

Из условия для $c\text{:}$ $\sin (x+y)=\sqrt{7}\cos x\text{.}$ Подставив в условие для $a\text{:}$ $\sqrt{7}\cos y=\sqrt{6}\sqrt{7}\cos x\Rightarrow \cos y=\sqrt{6}\cos x$ — это в точности условие для $b\text{,}$ так что независимых уравнений два. Положив $t=\cos x>0\text{,}$ имеем $\cos y=\sqrt{6}t\text{,}$ $\sin x=\sqrt{1-t^2}\text{,}$ $\sin y=\sqrt{1-6t^2}$ (требуется $t<\frac{1}{\sqrt{6}}$), и

$$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y=\sqrt{6}t\sqrt{1-t^2}+t\sqrt{1-6t^2}=\sqrt{7}t.$$

Сократив на $t>0\text{:}$ $\sqrt{6}\sqrt{1-t^2}+\sqrt{1-6t^2}=\sqrt{7}\text{.}$ Решая, получаем единственный корень в допустимой области $t=\frac{1}{\sqrt{7}}$ (тогда $\cos x=\frac{1}{\sqrt{7}}<\frac{1}{\sqrt{6}}$). Отсюда

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{7}}\Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}},\cos y=\sqrt{6}\cdot \frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\Rightarrow \sin y=\frac{1}{\sqrt{7}}.$$

Заметим, что ${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}y=\frac{6}{7}+\frac{1}{7}=1$ и $\cos x=\sin y\text{,}$ то есть $x+y=\frac{\pi }{2}\text{,}$ а тогда $\sin (x+y)=1$ — что прямой подстановкой даёт $a=1,b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{7}$ и значение $2\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^2\cdot {\left(\frac{8}{7}\right)}^4=\frac{131072}{21609}\text{.}$

Обе величины лежат в $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{:}$ $x=\arcsin \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\approx 67,79^{\circ }\text{,}$ $y=\arcsin \frac{1}{\sqrt{7}}\approx 22,21^{\circ }\text{.}$ Решение единственно. Таким образом, минимум достигается ровно в одной паре

$$x=\arcsin \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}},y=\arcsin \frac{1}{\sqrt{7}}$$

(и сам минимум равен $\frac{131072}{21609}$).