Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA′B′C′D′ с боковыми рёбрами AA′, BB′, CC′, DD′. На рёбрах AB, BC, CD, DA нижнего основания отмечены соответственно точки K, L, M, N, таким образом, что AK:KB=9:7, BL:LC=7:5, CM:MD=5:3, DN:NA=3:1. Пусть P, Q, R — центры сфер, описанных около тетраэдров AKNA′, BLKB′, CMLC′, соответственно. Найдите QR, если известно, что PQ=1 и AB:BC=4:3.
Введём прямоугольную систему координат. Пусть AB=a, BC=b, а боковое ребро AA′=BB′=CC′=DD′=h вертикально. Положим:
A=(0,0,0),B=(a,0,0),C=(a,b,0),D=(0,b,0), A′=(0,0,h),B′=(a,0,h),C′=(a,b,h),D′=(0,b,h).По заданным отношениям точки на рёбрах нижнего основания:
K=A+169(B−A)=(169a,0,0),L=B+127(C−B)=(a,127b,0), M=C+85(D−C)=(83a,b,0),N=D+43(A−D)=(0,4b,0).Центр описанной сферы тетраэдра равноудалён от всех четырёх вершин. Заметим, что каждый из тетраэдров AKNA′, BLKB′, CMLC′ содержит вертикальное боковое ребро (AA′, BB′, CC′), концы которого имеют z=0 и z=h; из равенства расстояний до этих двух концов получаем, что центр лежит в плоскости z=2h. Поэтому z-координаты всех центров равны 2h, и результат не зависит от h.
Решая систему равенств квадратов расстояний от центра до вершин (линейные уравнения), находим:
P=(329a, 8b, 2h),Q=(3225a, 247b, 2h),R=(1611a, 2419b, 2h).(Проверка: каждый центр действительно равноудалён от четырёх вершин своего тетраэдра — подтверждено численно с произвольным h.)
Тогда (координата z у всех центров одинакова, поэтому в разности сокращается):
PQ2=(3225a−329a)2+(247b−8b)2=4a2+36b2, QR2=(1611a−3225a)2+(2419b−247b)2=10249a2+4b2.По условию AB:BC=4:3, положим a=4t, b=3t (t>0). Тогда
PQ2=4(4t)2+36(3t)2=4t2+4t2=417t2, QR2=10249(4t)2+4(3t)2=649t2+49t2=64153t2.Из PQ=1: 417t2=1⇒t2=174. Тогда
QR2=64153⋅174=64⋅17153⋅4=1088612=169,откуда QR=43.
Ответ: QR=43.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ДВИ МГУ