Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ
Найдите все значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения x2+px+5p4=0 максимальна.
Условие: найти все значения параметра p, при которых наименьший корень уравнения x2+px+5p4=0 максимален.
ОДЗ по существованию корней. Уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен:
D=p2−20p4=p2(1−20p2)⩾0⟺1−20p2⩾0⟺∣p∣⩽201=105.Итак, допустимые значения параметра: p∈[−105,105].
Наименьший корень. При D⩾0 меньший корень есть
m(p)=2−p−p2−20p4.Нас интересует его максимум по p на отрезке [−105,105].
Оценка сверху (двойная цепочка). Так как p2−20p4⩾0, то
m(p)=2−p−p2−20p4⩽−2p,причём равенство достигается только при D=0, то есть при p=±105. Далее, на допустимом отрезке p⩾−105, поэтому
−2p⩽21⋅105=205,причём равенство — только при p=−105. Объединяя:
m(p)⩽−2p⩽205,и обе оценки обращаются в равенства одновременно лишь при p=−105.
Проверка краёв и второго края. При p=+105 дискриминант тоже равен нулю, но тогда корень равен −2p=−205<0 — это не максимум. Внутренняя критическая точка производной m′(p)=0 на интервале есть p=2015>0; там m≈−0,145 — это локальный минимум, а не максимум. Тем самым глобальный максимум наименьшего корня достигается именно на левом краю p=−105.
Значение в точке максимума. При p=−105 уравнение принимает вид
x2−105x+801=0,D=0,и имеет единственный (двойной) корень x=−2p=205. Поскольку корень единственный, он и является наименьшим, и его величина 205 — максимально возможная.
Ответ. p=−105(=−251); при этом наибольшее значение наименьшего корня равно 205.
Замечание: значение p=±2101, указанное в поле answer исходного JSON, ошибочно — в этих точках дискриминант не равен нулю (D=801=0) и наименьший корень не достигает максимума (поле answer для варианта 4, согласно transcription_notes, в PDF отсутствует и ненадёжно).