Найдите все значения параметра p, при которых система
{px2+8px+12y+18p−30⩾0py2−4py+12x+6p+42⩾0имеет ровно одно решение.
Обозначим
f1=px2+8px+12y+18p−30,f2=py2−4py+12x+6p+42,система: f1⩾0, f2⩾0.
Ключевая идея — сложение. Если пара (x,y) удовлетворяет системе, то f1⩾0 и f2⩾0, значит и сумма S=f1+f2⩾0. Это необходимое условие. Выделим полные квадраты (при p=0):
S=px2+(8p+12)x+py2+(−4p+12)y+(24p+12)=p(x+p4p+6)2+p(y−p2p−6)2+R,где остаток
R=24p+12−4p(8p+12)2−4p(−4p+12)2=p4(p−6)(p+3).Центр квадратов: x0=−p4p+6, y0=p2p−6.
Анализ при p<0. Тогда p[(x−x0)2+(y−y0)2]⩽0, поэтому S⩽R. Множество точек с S⩾0 есть {(x−x0)2+(y−y0)2⩽−R/p}: круг радиуса −R/p при R>0, единственная точка при R=0, пустое множество при R<0.
Знак R=p4(p−6)(p+3) при p<0: множитель p−6<0, а p+3 меняет знак в точке −3:
⎩⎨⎧p<−3: (p−6)(p+3)=(−)(−)>0, делим на p<0⇒R<0 ⇒ решений нет;p=−3: R=0 ⇒ S⩽0, причём S=0 лишь в одной точке;−3<p<0: (p−6)(p+3)=(−)(+)<0, делим на p<0⇒R>0 ⇒ круг (бесконечно много).Случай p=−3. Здесь x0=−2, y0=4, R=0, и
S=f1+f2=−3[(x+2)2+(y−4)2]⩽0.Для решения нужно S⩾0, значит обязано быть S=0, то есть (x,y)=(−2,4). Проверяем оба исходных неравенства в этой точке:
f1(−2,4)=−3⋅4+8(−3)(−2)+12⋅4+18(−3)−30=−12+48+48−54−30=0⩾0, f2(−2,4)=−3⋅16−4(−3)⋅4+12(−2)+6(−3)+42=−48+48−24−18+42=0⩾0.Оба выполнены, значит (−2,4) — решение, и оно единственно.
Случай p=0. Система превращается в 12y−30⩾0, 12x+42⩾0, то есть y⩾2,5, x⩾−3,5 — бесконечно много решений.
Случай p>0. Множества {f1⩾0} и {f2⩾0} — области «над»/«справа» от парабол; их пересечение, будучи непустым, содержит внутреннюю точку (есть точки со строгими f1>0, f2>0), то есть целую открытую область — бесконечно много решений.
Вывод. Ровно одно решение возможно только при p=−3; при p<−3 решений нет, при p>−3 (включая p=0 и p>0) их бесконечно много.
p=−3.Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ