58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T635,Нужно сравнить расстояния от чисел $\dfrac{55}{21}$ и $\dfrac{95}{28}$ до числа 3, то есть величины $\left|\dfrac{55}{21}-3\right|$ и $\left|\dfrac{95}{28}-3\right|$. Вычислим первое расстояние: \[\left|\frac{55}{21}-3\right|=\left|\frac{55-63}{21}\right|=\left|\frac{-8}{21}\right|=\frac{8}{21}.\] Вычислим второе расстояние: \[\left|\frac{95}{28}-3\right|=\left|\frac{95-84}{28}\right|=\frac{11}{28}.\] Сравним дроби $\dfrac{8}{21}$ и $\dfrac{11}{28}$. Обе положительны, поэтому сравнение эквивалентно сравнению произведений «крест-накрест» (знаменатели положительны): \[\frac{8}{21}\ \text{vs}\ \frac{11}{28}\iff 8\cdot 28\ \text{vs}\ 11\cdot 21\iff 224\ \text{vs}\ 231.\] Поскольку $224<231$, имеем $\dfrac{8}{21}<\dfrac{11}{28}$, то есть расстояние от $\dfrac{55}{21}$ до 3 меньше, чем расстояние от $\dfrac{95}{28}$ до 3. Замечание: $\dfrac{55}{21}\approx 2{,}619$ лежит левее тройки, а $\dfrac{95}{28}\approx 3{,}393$ — правее; оба расстояния положительны, выбор знаков модулей корректен. Дополнительных «краёв»/ОДЗ в задаче нет (числа фиксированы). Вывод: ближе к 3 расположено первое число $\dfrac{55}{21}$.5c:T83b,Рассмотрим уравнение $x^2+5ax+a^4=0$. По теореме Виета для его корней $x_1,x_2$: \[x_1+x_2=-5a,\qquad x_1x_2=a^4.\] Квадрат разности корней: \[(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=25a^2-4a^4.\] ОДЗ (условие вещественности корней). Корни существуют (вещественны), когда дискриминант неотрицателен: \[D=25a^2-4a^4\geqslant 0 \iff a^2(25-4a^2)\geqslant 0 \iff a\in\left[-\tfrac{5}{2},\,\tfrac{5}{2}\right].\] На этом множестве разность корней равна \[|x_1-x_2|=\sqrt{25a^2-4a^4}.\] Заметим, что $|x_1-x_2|$ и $g(a)=25a^2-4a^4$ достигают максимума в одних и тех же точках (корень — монотонная функция). Максимизируем $g(a)=25a^2-4a^4$ на $\left[-\tfrac{5}{2},\tfrac{5}{2}\right]$. Производная: \[g'(a)=50a-16a^3=2a\,(25-8a^2).\] Критические точки: $a=0$ и $a^2=\tfrac{25}{8}$, то есть $a=\pm\dfrac{5}{2\sqrt{2}}=\pm\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$ (эти точки лежат внутри отрезка, так как $\tfrac{5\sqrt2}{4}\approx 1{,}768<\tfrac52$). Сравним значения: - В точках $a=0$ и на краях $a=\pm\tfrac{5}{2}$ имеем $g=0$, то есть разность корней равна нулю (при $a=0$ и при $a=\pm\tfrac52$ — кратный корень), это минимум. - В точках $a=\pm\dfrac{5}{2\sqrt{2}}$: $g=25\cdot\tfrac{25}{8}-4\cdot\tfrac{625}{64}=\tfrac{625}{8}-\tfrac{625}{16}=\tfrac{625}{16}$, откуда $|x_1-x_2|=\dfrac{25}{4}$. Вторая производная $g''(a)=50-48a^2$; при $a^2=\tfrac{25}{8}$ получаем $g''=50-150=-100<0$ — значит, обе эти точки доставляют максимум. Итак, разность между корнями максимальна (и равна $\tfrac{25}{4}$) при $a=\pm\dfrac{5}{2\sqrt{2}}$.5d:T79e,Уравнение $\sin 7x\cos 11x=\sin x\cos 5x$. Областью определения служит вся числовая прямая (нет знаменателей, корней, логарифмов), поэтому ОДЗ: $x\in\mathbb{R}$. Применим формулу $\sin\alpha\cos\beta=\tfrac12\bigl(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr)$ к обеим частям. \[\sin 7x\cos 11x=\tfrac12\bigl(\sin 18x+\sin(-4x)\bigr)=\tfrac12\bigl(\sin 18x-\sin 4x\bigr),\] \[\sin x\cos 5x=\tfrac12\bigl(\sin 6x+\sin(-4x)\bigr)=\tfrac12\bigl(\sin 6x-\sin 4x\bigr).\] Приравнивая и сокращая слагаемое $-\tfrac12\sin 4x$, получаем равносильное уравнение \[\sin 18x=\sin 6x.\] Перенесём всё влево и разложим разность синусов: \[\sin 18x-\sin 6x=2\cos 12x\,\sin 6x=0.\] Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда обращается в нуль хотя бы один множитель. 1) $\sin 6x=0\iff 6x=\pi k\iff x=\dfrac{\pi k}{6},\ k\in\mathbb{Z}.$ 2) $\cos 12x=0\iff 12x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\iff x=\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{\pi k}{12}=\dfrac{(2k+1)\pi}{24},\ k\in\mathbb{Z}.$ Поскольку преобразования были равносильными (формула произведения в сумму и разложение разности синусов — тождества, посторонних корней не вносят, а ОДЗ — вся прямая), обе серии входят в ответ полностью. Серии не пересекаются: для $x=\pi k/6$ величина $24x/\pi=4k$ чётна, а для второй серии $24x/\pi=2k+1$ нечётна, поэтому общих точек нет. Ответ: \[x=\dfrac{\pi k}{6},\qquad x=\dfrac{(2k+1)\pi}{24},\qquad k\in\mathbb{Z}.\]5e:Tbed,Обозначим $b=\sqrt{5}-2$ и $a=\sqrt{5}+2$. Ключевое тождество: $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=5-4=1$, поэтому $a=\dfrac1b$ и $\ln a=-\ln b$ (при этом $00$ и $\neq1$ — годятся. Логарифм $\log_{\sqrt{5}-2}x$ требует $x>0$; логарифм $\log_x(\sqrt{5}+2)$ требует основания $x>0,\ x\neq1$. Итого ОДЗ: $x>0,\ x\neq1$. **Упрощение.** При $x>0,\ x\neq1$: \[\log_{b}x=\frac{\ln x}{\ln b},\qquad \log_{x}a=\frac{\ln a}{\ln x}=\frac{-\ln b}{\ln x}.\] Левая часть: $a^{\log_b x}=\exp\!\big(\log_b x\cdot\ln a\big)=\exp\!\Big(\frac{\ln x}{\ln b}\cdot(-\ln b)\Big)=\exp(-\ln x)=\dfrac1x.$ Правая часть: $b^{\log_x a}=\exp\!\big(\log_x a\cdot\ln b\big)=\exp\!\Big(\frac{-\ln b}{\ln x}\cdot\ln b\Big)=\exp\!\Big(-\dfrac{(\ln b)^2}{\ln x}\Big).$ Неравенство принимает вид $\dfrac1x\ \geqslant\ \exp\!\Big(-\dfrac{(\ln b)^2}{\ln x}\Big).$ **Логарифмирование.** Натуральный логарифм монотонно возрастает, обе части положительны, поэтому \[-\ln x\ \geqslant\ -\frac{(\ln b)^2}{\ln x}\ \Longleftrightarrow\ \frac{(\ln b)^2-(\ln x)^2}{\ln x}\ \geqslant\ 0.\] Положим $t=\ln x$ и $c=|\ln b|=\ln a>0$ (так как $\ln a=-\ln b$, $\ln b<0$). Тогда \[\frac{c^2-t^2}{t}\geqslant0\ \Longleftrightarrow\ \frac{(t-c)(t+c)}{t}\leqslant0.\] Корни числителя/знаменателя: $-c<00$: $00$. Итак, при $S_{ABL}=3$: \[S_{DMK}=\frac{2}{3}\,S_{ABL}=\frac{2}{3}\cdot 3=2.\] Результат единствен и не зависит от выбора точки $N$ на $BC$ и от формы трапеции (при фиксированном отношении оснований $4:3$). Ответ: $S_{DMK}=2$.60:Td86,Перепишем каждое неравенство, выделив полные квадраты: \[\begin{cases}f_1=a(x+1)^2+8y+2a-36\geqslant 0\\ f_2=a(y-4)^2+8x+2a+4\geqslant 0\end{cases}\] (проверка раскрытием скобок даёт исходные выражения). Сложим неравенства; если система имеет решение, то для него необходимо $f_1+f_2\geqslant 0$. Выделяя полный квадрат в сумме, получаем \[f_1+f_2=a\left(x+\frac{a+4}{a}\right)^2+a\left(y+\frac{4-4a}{a}\right)^2+\frac{4(a-4)(a+2)}{a}.\] Разберём случаи по знаку $a$. 1) $a=0$. Система превращается в $y\geqslant 4{,}5$ и $x\geqslant -0{,}5$ — пересечение двух полуплоскостей, бесконечно много решений. 2) $a>0$. Возьмём $x$ и $y$ большими положительными: тогда слагаемые $ax^2,\ ay^2$ и линейные части положительны, и оба неравенства выполнены. Значит решений бесконечно много при любом $a>0$ (выполнено, например, для всех достаточно больших $x,y$). Точнее, $f_1\geqslant 0$ задаёт область над параболой (большие $y$), $f_2\geqslant 0$ — справа от параболы (большие $x$); их пересечение всегда двумерно. 3) $a<0$. Квадратичная форма в сумме отрицательно определена, поэтому \[f_1+f_2\leqslant m(a),\qquad m(a)=\frac{4(a-4)(a+2)}{a},\] с равенством только в вершине $\left(-\frac{a+4}{a},\,-\frac{4-4a}{a}\right)$. Сочетая с необходимым $f_1+f_2\geqslant 0$: - если $a<-2$, то $m(a)<0$, значит $f_1+f_2<0$ всюду — решений нет; - если $-20$, и множество, где $f_1+f_2\geqslant 0$, есть внутренность эллипса (двумерная область); прямая проверка показывает, что система совместна и имеет бесконечно много решений; - если $a=-2$, то $m(a)=0$, и $f_1+f_2\leqslant 0$ всюду, с равенством лишь в вершине. Рассмотрим $a=-2$ подробно. Здесь \[f_1+f_2=-2\big((x-1)^2+(y-6)^2\big)\leqslant 0,\] причём равенство достигается только в точке $(1,6)$. Если $f_1\geqslant 0$ и $f_2\geqslant 0$, то $f_1+f_2\geqslant 0$; вместе с $f_1+f_2\leqslant 0$ это даёт $f_1+f_2=0$, что возможно лишь в $(1,6)$, и там $f_1=f_2=0$. Подстановка: $f_1(1,6)=-2\cdot1-4\cdot1+8\cdot6-6-36=0$, $f_2(1,6)=8\cdot1-2\cdot36+16\cdot6-36+4=0$ — оба неравенства выполняются как равенства. Значит при $a=-2$ система имеет ровно одно решение $(x,y)=(1,6)$. При всех остальных $a$ число решений равно $0$ или бесконечности. Следовательно, единственное значение параметра — $a=-2$.61:Tded,Введём прямоугольную систему координат с основанием в плоскости $z=0$. Поскольку $AB:BC=3:2$, положим $AB=3t$, $BC=2t$, а боковое ребро $AA'=h$: $A=(0,0,0)$, $B=(3t,0,0)$, $C=(3t,2t,0)$, $D=(0,2t,0)$, а штрихованные вершины на высоте $z=h$. Точки на рёбрах нижнего основания: $K$ на $AB$, $AK:KB=5:4\Rightarrow AK=\tfrac{5}{9}\cdot 3t=\tfrac{5t}{3}$, значит $K=\left(\tfrac{5t}{3},0,0\right)$; $L$ на $BC$, $BL:LC=2:1\Rightarrow BL=\tfrac{2}{3}\cdot 2t=\tfrac{4t}{3}$, значит $L=\left(3t,\tfrac{4t}{3},0\right)$; $M$ на $CD$, $CM:MD=2:1\Rightarrow CM=\tfrac{2}{3}\cdot 3t=2t$, значит $M=(t,2t,0)$; $N$ на $DA$, $DN:NA=5:1\Rightarrow NA=\tfrac{1}{6}\cdot 2t=\tfrac{t}{3}$, значит $N=\left(0,\tfrac{t}{3},0\right)$. Ключевое наблюдение. Каждый из тетраэдров $AKNA'$, $BLKB'$, $CMLC'$ имеет три вершины в плоскости основания ($z=0$) и одну вершину-апекс ($A'$, $B'$, $C'$) ровно над одной из них на высоте $h$. Центр описанной сферы равноудалён от вершины основания $X$ и от её апекса $X'=X+(0,0,h)$; геометрическое место таких точек — плоскость $z=\tfrac{h}{2}$. Поэтому все три центра $P,Q,R$ лежат в плоскости $z=\tfrac{h}{2}$, а их проекции на основание совпадают с центрами описанных окружностей треугольников оснований $AKN$, $BLK$, $CML$. Высота $h$ одинакова для всех трёх, значит на горизонтальные расстояния между $P,Q,R$ она не влияет. Находим центры описанных окружностей (решая систему равноудалённости от вершин каждого треугольника): центр окружности $\triangle AKN$: $P=\left(\tfrac{5t}{6},\ \tfrac{t}{6},\ \tfrac{h}{2}\right)$; центр окружности $\triangle BLK$: $Q=\left(\tfrac{7t}{3},\ \tfrac{2t}{3},\ \tfrac{h}{2}\right)$; центр окружности $\triangle CML$: $R=\left(2t,\ \tfrac{5t}{3},\ \tfrac{h}{2}\right)$. (Проверка равноудалённости подтверждена: каждый центр равноудалён от всех четырёх вершин своего тетраэдра.) Так как все три точки имеют одинаковую $z$-координату $\tfrac{h}{2}$, расстояния считаются по проекциям: $\vec{PQ}=Q-P=\left(\tfrac{7t}{3}-\tfrac{5t}{6},\ \tfrac{2t}{3}-\tfrac{t}{6}\right)=\left(\tfrac{3t}{2},\ \tfrac{t}{2}\right)$, откуда $PQ=\sqrt{\tfrac{9t^2}{4}+\tfrac{t^2}{4}}=\tfrac{\sqrt{10}}{2}\,t$. $\vec{QR}=R-Q=\left(2t-\tfrac{7t}{3},\ \tfrac{5t}{3}-\tfrac{2t}{3}\right)=\left(-\tfrac{t}{3},\ t\right)$, откуда $QR=\sqrt{\tfrac{t^2}{9}+t^2}=\tfrac{\sqrt{10}}{3}\,t$. Следовательно $\dfrac{QR}{PQ}=\dfrac{\sqrt{10}/3}{\sqrt{10}/2}=\dfrac{2}{3}$, и это отношение не зависит от $t$ и $h$. По условию $PQ=1$, поэтому $QR=\dfrac{2}{3}\cdot PQ=\dfrac{2}{3}$.62:T1455,На промежутке $x,y\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ синусы $\sin x$, $\sin y$, $\sin(x+y)$ положительны (так как $x+y\in(0,\pi)$), поэтому все три дроби в скобках положительны и выражение определено всюду на $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)^2$. Введём обозначения для содержимого дробей: \[A=\frac{\sqrt{6}\sin y}{\sqrt{5}\sin(x+y)},\qquad B=\frac{\sqrt{5}\sin x}{3\sin y},\qquad C=\frac{\sin(x+y)}{7\sqrt{6}\sin x}.\] Тогда минимизируемое выражение равно $E=(1+A)(1+B)^2(1+C)^4$, причём $A,B,C>0$. **Ключевое наблюдение: произведение постоянно.** Перемножая, все синусы сокращаются: \[A\cdot B\cdot C=\frac{\sqrt{6}\sin y}{\sqrt{5}\sin(x+y)}\cdot\frac{\sqrt{5}\sin x}{3\sin y}\cdot\frac{\sin(x+y)}{7\sqrt{6}\sin x}=\frac{\sqrt{6}\,\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot 3\cdot 7\cdot\sqrt{6}}=\frac{1}{21}.\] **Оценка снизу (взвешенное неравенство о средних).** Раздробим каждую скобку на равные слагаемые, подобранные так, чтобы число копий совпадало с показателем степени, увеличенным на единицу (1, 4, 8 соответственно): \[1+A=1+A\geqslant 2\sqrt{A},\] \[1+B=\underbrace{\tfrac13+\tfrac13+\tfrac13}_{3}+B\geqslant 4\sqrt[4]{\left(\tfrac13\right)^3 B},\] \[1+C=\underbrace{\tfrac17+\dots+\tfrac17}_{7}+C\geqslant 8\sqrt[8]{\left(\tfrac17\right)^7 C}.\] Все слагаемые положительны, поэтому применение неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим законно. Перемножая (вторую оценку во второй степени, третью — в четвёртой), получаем \[E\geqslant 2\sqrt{A}\cdot\left(4\sqrt[4]{\left(\tfrac13\right)^3 B}\right)^2\cdot\left(8\sqrt[8]{\left(\tfrac17\right)^7 C}\right)^4=2\cdot 16\cdot 4096\cdot\left(\tfrac13\right)^{3/2}\left(\tfrac17\right)^{7/2}\sqrt{ABC}.\] Подставляя $ABC=\dfrac{1}{21}$, то есть $\sqrt{ABC}=\dfrac{1}{\sqrt{21}}$, и учитывая $\left(\tfrac13\right)^{3/2}\left(\tfrac17\right)^{7/2}=\dfrac{1}{\sqrt{3^3\cdot 7^7}}$, приходим к не зависящей от $x,y$ границе \[E\geqslant\frac{131072}{21609}=2\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{8}{7}\right)^4.\] **Условие равенства.** Равенство во взвешенном неравенстве достигается, когда дробящиеся слагаемые равны между собой, то есть \[A=1,\qquad B=\frac13,\qquad C=\frac17.\] (Проверка совместности: $A\cdot B\cdot C=1\cdot\tfrac13\cdot\tfrac17=\tfrac1{21}$ — согласуется с найденным произведением, значит система не переопределена.) **Возврат к переменным $x,y$.** Условия $A=1$ и $C=\tfrac17$ дают \[\sqrt{6}\sin y=\sqrt{5}\sin(x+y),\qquad \sin(x+y)=\sqrt{6}\sin x,\] откуда $\sin y=\sqrt{5}\sin x$ (условие $B=\tfrac13$ при этом выполняется автоматически). Раскрывая $\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y=\sqrt{6}\sin x$ и деля на $\sin x>0$ с учётом $\dfrac{\sin y}{\sin x}=\sqrt{5}$, получаем \[\cos y+\sqrt{5}\cos x=\sqrt{6}.\] Из $\sin y=\sqrt{5}\sin x$ следует $\cos^2 y=1-5\sin^2 x=5\cos^2 x-4$. Подставив $\cos y=\sqrt{6}-\sqrt{5}\cos x$ и возведя в квадрат, получаем \[6-2\sqrt{30}\cos x+5\cos^2 x=5\cos^2 x-4\ \Longrightarrow\ 2\sqrt{30}\cos x=10\ \Longrightarrow\ \cos x=\frac{5}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}.\] Тогда $\cos y=\sqrt{6}-\sqrt{5}\cdot\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}-\dfrac{5}{\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$. Оба значения косинусов положительны и меньше единицы, поэтому соответствующие $x,y$ однозначно лежат в $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$: \[x=\arccos\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}},\qquad y=\arccos\frac{1}{\sqrt{6}}.\] (Заметим, что в этой точке $\cos x\cos y=\sin x\sin y$, то есть $x+y=\frac{\pi}{2}$, что внутри допустимой области.) **Единственность.** Граница $E\geqslant\dfrac{131072}{21609}$ выполняется на всём $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)^2$, а равенство возможно лишь при $A=1,\,B=\tfrac13,\,C=\tfrac17$, что приводит к единственной паре. Значит минимум достигается ровно в одной точке. Ответ: $x=\arccos\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}},\ y=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ (минимальное значение выражения равно $\dfrac{131072}{21609}$).41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2018 — вариант 3\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2018 — вариант 3\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2018-v3\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T10:10:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2018 — вариант 3\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2018 — вариант 3-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2018 — вариант 3"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2018-v3","serverCollection":{"id":"47cd381d-b66e-4bde-a0a4-b5c5e60d44d7","name":"ДВИ МГУ 2018 — вариант 3","code":"dvi-math-2018-v3","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2018 года, вариант 3","visible_problem_count":8,"year":2018},"created_at":"2026-06-10T10:10:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"f4560d91-cb05-4b25-8e46-d55c7e228ca2","collection_id":"47cd381d-b66e-4bde-a0a4-b5c5e60d44d7","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"f4560d91-cb05-4b25-8e46-d55c7e228ca2","short_id":17992,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":2,"content_text":"Какое из чисел \$\\dfrac{55}{21}\$ и \$\\dfrac{95}{28}\$ ближе к 3?","answer_text":"Первое","answer":"Первое","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 3","variant_key":"2018-v3","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"31d4e4b7-a2c1-4cbd-85ff-1aa0dec4e314","code":"tag-45","name":"Сравнение чисел"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"}]}},{"problem_id":"d2efc85a-4ec2-4a8d-b9ed-93db769a02ff","collection_id":"47cd381d-b66e-4bde-a0a4-b5c5e60d44d7","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"d2efc85a-4ec2-4a8d-b9ed-93db769a02ff","short_id":17993,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Найдите все значения параметра \$a\$, при которых разность между корнями уравнения \$x^2+5ax+a^4=0\$ максимальна.","answer_text":"\$a = \\pm\\dfrac{5}{2\\sqrt{2}}\$","answer":"\$a = \\pm\\dfrac{5}{2\\sqrt{2}}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 3","variant_key":"2018-v3","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"}]}},{"problem_id":"1c4b24f2-e80c-4140-839f-5565d51fc203","collection_id":"47cd381d-b66e-4bde-a0a4-b5c5e60d44d7","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"1c4b24f2-e80c-4140-839f-5565d51fc203","short_id":17994,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решите уравнение \$\\sin 7x\\cos 11x=\\sin x\\cos 5x\$.","answer_text":"\$x = \\dfrac{k\\pi}{6},\\ \\dfrac{2k+1}{24}\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\dfrac{k\\pi}{6},\\ \\dfrac{2k+1}{24}\\pi,\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 3","variant_key":"2018-v3","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"37945dd4-6787-495c-a3b9-4524691f6dd7","code":"tag-51","name":"Тригонометрические формулы для произведения функций"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"dcec6e03-173e-4ea7-9b6a-cb935a3bdda5","code":"tag-212","name":"Тригонометрические формулы суммы или разности аргументов"}]}},{"problem_id":"a22e51b9-15b7-461e-a897-0b9ef7ff6b1d","collection_id":"47cd381d-b66e-4bde-a0a4-b5c5e60d44d7","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"a22e51b9-15b7-461e-a897-0b9ef7ff6b1d","short_id":17995,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решите неравенство \$\\left(\\sqrt{5}+2\\right)^{\\log_{\\sqrt{5}-2}x}\\geqslant\\left(\\sqrt{5}-2\\right)^{\\log_x\\left(\\sqrt{5}+2\\right)}.\$","answer_text":"\$x \\in \\left(0,\\sqrt{5}-2\\,\\right]\\cup\\left(1,\\sqrt{5}+2\\,\\right]\$","answer":"\$x \\in \\left(0,\\sqrt{5}-2\\,\\right]\\cup\\left(1,\\sqrt{5}+2\\,\\right]\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 3","variant_key":"2018-v3","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"71f19a1a-c6b7-4320-9e0b-3cb73213fa41","code":"tag-104","name":"Показательные неравенства"},{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"5a152a52-4bd6-49af-b3ef-c670cf0e0632","collection_id":"47cd381d-b66e-4bde-a0a4-b5c5e60d44d7","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"5a152a52-4bd6-49af-b3ef-c670cf0e0632","short_id":17996,"task_number":18,"topic_id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Дана трапеция \$ABCD\$ с основаниями \$AD\$ и \$BC\$. Пусть \$M\$ — середина отрезка \$AD\$, а \$N\$ — произвольная точка отрезка \$BC\$. Пусть \$K\$ — пересечение отрезков \$CM\$ и \$DN\$, а \$L\$ — пересечение отрезков \$MN\$ и \$AC\$. Найдите все возможные значения площади треугольника \$DMK\$, если известно, что \$AD:BC=4:3\$, а площадь треугольника \$ABL\$ равна 3.","answer_text":"\$2\$","answer":"\$2\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 3","variant_key":"2018-v3","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","name":"Подобие и площади","description":null},"tags":[{"id":"0d5fdf8a-7b8f-41ed-9e90-56f1f2ffe049","code":"tag-10","name":"Замечательное свойство трапеции"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a1e9cba9-7ee1-4f19-a92d-5b6033d1395a","code":"tag-146","name":"Трапеция"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"}]}},{"problem_id":"5290671c-b321-40ec-8dae-a1e4be67989f","collection_id":"47cd381d-b66e-4bde-a0a4-b5c5e60d44d7","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"5290671c-b321-40ec-8dae-a1e4be67989f","short_id":17997,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найдите все значения параметра \$a\$, при которых система\n\\[\\begin{cases}ax^2+2ax+8y+3a-36\\geqslant 0\\\\ ay^2-8ay+8x+18a+4\\geqslant 0\\end{cases}\\]\nимеет ровно одно решение.","answer_text":"\$a = -2\$","answer":"\$a = -2\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 3","variant_key":"2018-v3","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"d049c81a-1ded-4ac2-9392-9a84869c2975","code":"tag-197","name":"Неравенства с параметром"}]}},{"problem_id":"ebcbde25-9631-4fe8-86f8-58fc561ad54a","collection_id":"47cd381d-b66e-4bde-a0a4-b5c5e60d44d7","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"ebcbde25-9631-4fe8-86f8-58fc561ad54a","short_id":17998,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Дан прямоугольный параллелепипед \$ABCDA'B'C'D'\$ с боковыми рёбрами \$AA'\$, \$BB'\$, \$CC'\$, \$DD'\$. На рёбрах \$AB\$, \$BC\$, \$CD\$, \$DA\$ нижнего основания отмечены соответственно точки \$K\$, \$L\$, \$M\$, \$N\$, таким образом, что \$AK:KB=5:4\$, \$BL:LC=CM:MD=2:1\$, \$DN:NA=5:1\$. Пусть \$P\$, \$Q\$, \$R\$ — центры сфер, описанных около тетраэдров \$AKNA'\$, \$BLKB'\$, \$CMLC'\$, соответственно. Найдите \$QR\$, если известно, что \$PQ=1\$ и \$AB:BC=3:2\$.","answer_text":"\$2/3\$","answer":"\$2/3\$","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 3","variant_key":"2018-v3","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"720324ca-61cd-4043-8f06-78f5c54c5067","code":"tag-105","name":"Координаты вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами"},{"id":"c7a9f11c-aee5-4ebf-811d-3d1a226c0716","code":"tag-188","name":"Описанный шар"},{"id":"d32e29f3-03cd-4611-a30a-5cd040c54cdd","code":"tag-198","name":"Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве"},{"id":"fc410a00-792e-42cc-97d3-9408df44ef53","code":"tag-241","name":"Прямоугольный параллелепипед"}]}},{"problem_id":"acb49494-8329-4a1c-9bde-1b009c1bb1d9","collection_id":"47cd381d-b66e-4bde-a0a4-b5c5e60d44d7","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"acb49494-8329-4a1c-9bde-1b009c1bb1d9","short_id":17999,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Найдите все пары чисел \$x,y\$ из промежутка \$\\left(0,\\frac{\\pi}{2}\\right)\$, при которых достигается минимум выражения\n\\[\\left(\\frac{\\sqrt{6}\\sin y}{\\sqrt{5}\\sin(x+y)}+1\\right)\\left(\\frac{\\sqrt{5}\\sin x}{3\\sin y}+1\\right)^2\\left(\\frac{\\sin(x+y)}{7\\sqrt{6}\\sin x}+1\\right)^4.\\]","answer_text":"\$x = \\arccos\\dfrac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{6}},\\ y = \\arccos\\dfrac{1}{\\sqrt{6}}\$","answer":"\$x = \\arccos\\dfrac{\\sqrt{5}}{\\sqrt{6}},\\ y = \\arccos\\dfrac{1}{\\sqrt{6}}\$","solution_text":"$62","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 3","variant_key":"2018-v3","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ