Задача №17998

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ с боковыми рёбрами $A{A}^{\prime }\text{,}$ $B{B}^{\prime }\text{,}$ $C{C}^{\prime }\text{,}$ $D{D}^{\prime }\text{.}$ На рёбрах $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CD\text{,}$ $DA$ нижнего основания отмечены соответственно точки $K\text{,}$ $L\text{,}$ $M\text{,}$ $N\text{,}$ таким образом, что $AK:KB=5:4\text{,}$ $BL:LC=CM:MD=2:1\text{,}$ $DN:NA=5:1\text{.}$ Пусть $P\text{,}$ $Q\text{,}$ $R$ — центры сфер, описанных около тетраэдров $AKN{A}^{\prime }\text{,}$ $BLK{B}^{\prime }\text{,}$ $CML{C}^{\prime }\text{,}$ соответственно. Найдите $QR\text{,}$ если известно, что $PQ=1$ и $AB:BC=3:2\text{.}$

Введём прямоугольную систему координат с основанием в плоскости $z=0\text{.}$ Поскольку $AB:BC=3:2\text{,}$ положим $AB=3t\text{,}$ $BC=2t\text{,}$ а боковое ребро $A{A}^{\prime }=h\text{:}$
$A=(0,0,0)\text{,}$ $B=(3t,0,0)\text{,}$ $C=(3t,2t,0)\text{,}$ $D=(0,2t,0)\text{,}$ а штрихованные вершины на высоте $z=h\text{.}$

Точки на рёбрах нижнего основания:
$K$ на $AB\text{,}$ $AK:KB=5:4\Rightarrow AK=\frac{5}{9}\cdot 3t=\frac{5t}{3}\text{,}$ значит $K=\left(\frac{5t}{3},0,0\right)\text{;}$
$L$ на $BC\text{,}$ $BL:LC=2:1\Rightarrow BL=\frac{2}{3}\cdot 2t=\frac{4t}{3}\text{,}$ значит $L=\left(3t,\frac{4t}{3},0\right)\text{;}$
$M$ на $CD\text{,}$ $CM:MD=2:1\Rightarrow CM=\frac{2}{3}\cdot 3t=2t\text{,}$ значит $M=(t,2t,0)\text{;}$
$N$ на $DA\text{,}$ $DN:NA=5:1\Rightarrow NA=\frac{1}{6}\cdot 2t=\frac{t}{3}\text{,}$ значит $N=\left(0,\frac{t}{3},0\right)\text{.}$

Ключевое наблюдение. Каждый из тетраэдров $AKN{A}^{\prime }\text{,}$ $BLK{B}^{\prime }\text{,}$ $CML{C}^{\prime }$ имеет три вершины в плоскости основания ($z=0$) и одну вершину-апекс ($A^{\prime }\text{,}$ $B^{\prime }\text{,}$ $C^{\prime }$) ровно над одной из них на высоте $h\text{.}$ Центр описанной сферы равноудалён от вершины основания $X$ и от её апекса $X^{\prime }=X+(0,0,h)\text{;}$ геометрическое место таких точек — плоскость $z=\frac{h}{2}\text{.}$ Поэтому все три центра $P,Q,R$ лежат в плоскости $z=\frac{h}{2}\text{,}$ а их проекции на основание совпадают с центрами описанных окружностей треугольников оснований $AKN\text{,}$ $BLK\text{,}$ $CML\text{.}$ Высота $h$ одинакова для всех трёх, значит на горизонтальные расстояния между $P,Q,R$ она не влияет.

Находим центры описанных окружностей (решая систему равноудалённости от вершин каждого треугольника):
центр окружности $△AKN\text{:}$ $P=\left(\frac{5t}{6},\frac{t}{6},\frac{h}{2}\right)\text{;}$
центр окружности $△BLK\text{:}$ $Q=\left(\frac{7t}{3},\frac{2t}{3},\frac{h}{2}\right)\text{;}$
центр окружности $△CML\text{:}$ $R=\left(2t,\frac{5t}{3},\frac{h}{2}\right)\text{.}$

(Проверка равноудалённости подтверждена: каждый центр равноудалён от всех четырёх вершин своего тетраэдра.)

Так как все три точки имеют одинаковую $z$-координату $\frac{h}{2}\text{,}$ расстояния считаются по проекциям:
$\overrightarrow{PQ}=Q-P=\left(\frac{7t}{3}-\frac{5t}{6},\frac{2t}{3}-\frac{t}{6}\right)=\left(\frac{3t}{2},\frac{t}{2}\right)\text{,}$ откуда
$PQ=\sqrt{\frac{9t^2}{4}+\frac{t^2}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}t\text{.}$

$\overrightarrow{QR}=R-Q=\left(2t-\frac{7t}{3},\frac{5t}{3}-\frac{2t}{3}\right)=\left(-\frac{t}{3},t\right)\text{,}$ откуда
$QR=\sqrt{\frac{t^2}{9}+t^2}=\frac{\sqrt{10}}{3}t\text{.}$

Следовательно $\frac{QR}{PQ}=\frac{\sqrt{10}/3}{\sqrt{10}/2}=\frac{2}{3}\text{,}$ и это отношение не зависит от $t$ и $h\text{.}$

По условию $PQ=1\text{,}$ поэтому
$QR=\frac{2}{3}\cdot PQ=\frac{2}{3}\text{.}$