Задача №17995

Решите неравенство ${\left(\sqrt{5}+2\right)}^{{\log }_{\sqrt{5}-2}x}⩾{\left(\sqrt{5}-2\right)}^{{\log }_x\left(\sqrt{5}+2\right)}.$

Обозначим $b=\sqrt{5}-2$ и $a=\sqrt{5}+2\text{.}$ Ключевое тождество: $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=5-4=1\text{,}$ поэтому $a=\frac{1}{b}$ и $\ln a=-\ln b$ (при этом $0<b<1<a\text{,}$ $\ln b<0$).

ОДЗ. Основания степеней $\sqrt{5}\pm 2>0$ и $\ne 1$ — годятся. Логарифм ${\log }_{\sqrt{5}-2}x$ требует $x>0\text{;}$ логарифм ${\log }_x(\sqrt{5}+2)$ требует основания $x>0,x\ne 1\text{.}$ Итого ОДЗ: $x>0,x\ne 1\text{.}$

Упрощение. При $x>0,x\ne 1\text{:}$

Левая часть: $a^{{\log }_{b}x}=\exp ({\log }_{b}x\cdot \ln a)=\exp (\frac{\ln x}{\ln b}\cdot (-\ln b))=\exp (-\ln x)=\frac{1}{x}.$
Правая часть: $b^{{\log }_{x}a}=\exp ({\log }_{x}a\cdot \ln b)=\exp (\frac{-\ln b}{\ln x}\cdot \ln b)=\exp (-\frac{(\ln b{)}^2}{\ln x}).$

Неравенство принимает вид $\frac{1}{x}⩾\exp (-\frac{(\ln b{)}^2}{\ln x}).$

Логарифмирование. Натуральный логарифм монотонно возрастает, обе части положительны, поэтому

Положим $t=\ln x$ и $c=|\ln b|=\ln a>0$ (так как $\ln a=-\ln b\text{,}$ $\ln b<0$). Тогда

Корни числителя/знаменателя: $-c<0<c\text{.}$ Методом интервалов: выражение $⩽0$ при $t⩽-c$ и при $0<t⩽c$ (точки $t=\pm c$ дают равенство — включены; $t=0\text{,}$ т.е. $x=1\text{,}$ исключён ОДЗ).

Возврат к $x\text{.}$ $c=\ln a=\ln (\sqrt{5}+2)\text{,}$ $t=\ln x\text{.}$
$t⩽-c\Rightarrow \ln x⩽-\ln a\Rightarrow x⩽\frac{1}{a}=b=\sqrt{5}-2\text{;}$ с учётом $x>0\text{:}$ $0<x⩽\sqrt{5}-2\text{.}$
$0<t⩽c\Rightarrow 1<x⩽a=\sqrt{5}+2.$

Края (посторонние/граничные точки). При $x=\sqrt{5}-2\text{:}$ ${\log }_{b}x={\log }_{b}b=1\text{,}$ ЛЧ $=a^1\cdot \text{.}$.. аккуратно: ЛЧ$=1/x=a=\sqrt{5}+2\text{;}$ ПЧ$=b^{{\log }_{x}a}\text{,}$ ${\log }_{x}a={\log }_b(1/b)=-1\Rightarrow$ПЧ$=b^{-1}=a=\sqrt{5}+2$ — равенство, точка включена. При $x=\sqrt{5}+2\text{:}$ ${\log }_{b}x={\log }_{b}a=-1\Rightarrow$ЛЧ$=1/x=b=\sqrt{5}-2\text{;}$ ${\log }_{x}a={\log }_{a}a=1\Rightarrow$ПЧ$=b^1=b=\sqrt{5}-2$ — равенство, точка включена. Точка $x=1$ исключена ОДЗ. Никаких посторонних корней нет, т.к. все переходы (логарифмирование монотонной функцией, метод интервалов) равносильны на ОДЗ.

Ответ: $x\in \left(0,\sqrt{5}-2\right]\cup \left(1,\sqrt{5}+2\right].$