Задача №17999

Найдите все пары чисел $x,y$ из промежутка $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{,}$ при которых достигается минимум выражения

$$\left(\frac{\sqrt{6}\sin y}{\sqrt{5}\sin (x+y)}+1\right){\left(\frac{\sqrt{5}\sin x}{3\sin y}+1\right)}^2{\left(\frac{\sin (x+y)}{7\sqrt{6}\sin x}+1\right)}^4.$$

На промежутке $x,y\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ синусы $\sin x\text{,}$ $\sin y\text{,}$ $\sin (x+y)$ положительны (так как $x+y\in (0,\pi )$), поэтому все три дроби в скобках положительны и выражение определено всюду на ${\left(0,\frac{\pi }{2}\right)}^2\text{.}$

Введём обозначения для содержимого дробей:

$$A=\frac{\sqrt{6}\sin y}{\sqrt{5}\sin (x+y)},B=\frac{\sqrt{5}\sin x}{3\sin y},C=\frac{\sin (x+y)}{7\sqrt{6}\sin x}.$$

Тогда минимизируемое выражение равно $E=(1+A)(1+B{)}^2(1+C{)}^4\text{,}$ причём $A,B,C>0\text{.}$

Ключевое наблюдение: произведение постоянно. Перемножая, все синусы сокращаются:

$$A\cdot B\cdot C=\frac{\sqrt{6}\sin y}{\sqrt{5}\sin (x+y)}\cdot \frac{\sqrt{5}\sin x}{3\sin y}\cdot \frac{\sin (x+y)}{7\sqrt{6}\sin x}=\frac{\sqrt{6}\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot 3\cdot 7\cdot \sqrt{6}}=\frac{1}{21}.$$

Оценка снизу (взвешенное неравенство о средних). Раздробим каждую скобку на равные слагаемые, подобранные так, чтобы число копий совпадало с показателем степени, увеличенным на единицу (1, 4, 8 соответственно):

$$1+A=1+A⩾2\sqrt{A},$$ $$1+B=\underset{3}{\underbrace{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}}+B⩾4\sqrt[4]{{\left(\frac{1}{3}\right)}^{3}B},$$ $$1+C=\underset{7}{\underbrace{\frac{1}{7}+\cdots +\frac{1}{7}}}+C⩾8\sqrt[8]{{\left(\frac{1}{7}\right)}^{7}C}.$$

Все слагаемые положительны, поэтому применение неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим законно. Перемножая (вторую оценку во второй степени, третью — в четвёртой), получаем

$$E⩾2\sqrt{A}\cdot {\left(4\sqrt[4]{{\left(\frac{1}{3}\right)}^{3}B}\right)}^2\cdot {\left(8\sqrt[8]{{\left(\frac{1}{7}\right)}^{7}C}\right)}^4=2\cdot 16\cdot 4096\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{3/2}{\left(\frac{1}{7}\right)}^{7/2}\sqrt{ABC}.$$

Подставляя $ABC=\frac{1}{21}\text{,}$ то есть $\sqrt{ABC}=\frac{1}{\sqrt{21}}\text{,}$ и учитывая ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{3/2}{\left(\frac{1}{7}\right)}^{7/2}=\frac{1}{\sqrt{3^3\cdot 7^7}}\text{,}$ приходим к не зависящей от $x,y$ границе

$$E⩾\frac{131072}{21609}=2\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^2\cdot {\left(\frac{8}{7}\right)}^4.$$

Условие равенства. Равенство во взвешенном неравенстве достигается, когда дробящиеся слагаемые равны между собой, то есть

$$A=1,B=\frac{1}{3},C=\frac{1}{7}.$$

(Проверка совместности: $A\cdot B\cdot C=1\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{21}$ — согласуется с найденным произведением, значит система не переопределена.)

Возврат к переменным $x,y\text{.}$ Условия $A=1$ и $C=\frac{1}{7}$ дают

$$\sqrt{6}\sin y=\sqrt{5}\sin (x+y),\sin (x+y)=\sqrt{6}\sin x,$$

откуда $\sin y=\sqrt{5}\sin x$ (условие $B=\frac{1}{3}$ при этом выполняется автоматически). Раскрывая $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y=\sqrt{6}\sin x$ и деля на $\sin x>0$ с учётом $\frac{\sin y}{\sin x}=\sqrt{5}\text{,}$ получаем

$$\cos y+\sqrt{5}\cos x=\sqrt{6}.$$

Из $\sin y=\sqrt{5}\sin x$ следует ${\cos }^{2}y=1-5{\sin }^{2}x=5{\cos }^{2}x-4\text{.}$ Подставив $\cos y=\sqrt{6}-\sqrt{5}\cos x$ и возведя в квадрат, получаем

$$6-2\sqrt{30}\cos x+5{\cos }^{2}x=5{\cos }^{2}x-4⟹2\sqrt{30}\cos x=10⟹\cos x=\frac{5}{\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}.$$

Тогда $\cos y=\sqrt{6}-\sqrt{5}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}-\frac{5}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\text{.}$ Оба значения косинусов положительны и меньше единицы, поэтому соответствующие $x,y$ однозначно лежат в $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\text{:}$

$$x=\arccos \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}},y=\arccos \frac{1}{\sqrt{6}}.$$

(Заметим, что в этой точке $\cos x\cos y=\sin x\sin y\text{,}$ то есть $x+y=\frac{\pi }{2}\text{,}$ что внутри допустимой области.)

Единственность. Граница $E⩾\frac{131072}{21609}$ выполняется на всём ${\left(0,\frac{\pi }{2}\right)}^2\text{,}$ а равенство возможно лишь при $A=1,B=\frac{1}{3},C=\frac{1}{7}\text{,}$ что приводит к единственной паре. Значит минимум достигается ровно в одной точке.

Ответ: $x=\arccos \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}},y=\arccos \frac{1}{\sqrt{6}}$ (минимальное значение выражения равно $\frac{131072}{21609}$).