Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ
Найдите все значения параметра a, при которых система
{ax2+2ax+8y+3a−36⩾0ay2−8ay+8x+18a+4⩾0имеет ровно одно решение.
Перепишем каждое неравенство, выделив полные квадраты:
{f1=a(x+1)2+8y+2a−36⩾0f2=a(y−4)2+8x+2a+4⩾0(проверка раскрытием скобок даёт исходные выражения). Сложим неравенства; если система имеет решение, то для него необходимо f1+f2⩾0. Выделяя полный квадрат в сумме, получаем
f1+f2=a(x+aa+4)2+a(y+a4−4a)2+a4(a−4)(a+2).Разберём случаи по знаку a.
1) a=0. Система превращается в y⩾4,5 и x⩾−0,5 — пересечение двух полуплоскостей, бесконечно много решений.
2) a>0. Возьмём x и y большими положительными: тогда слагаемые ax2, ay2 и линейные части положительны, и оба неравенства выполнены. Значит решений бесконечно много при любом a>0 (выполнено, например, для всех достаточно больших x,y). Точнее, f1⩾0 задаёт область над параболой (большие y), f2⩾0 — справа от параболы (большие x); их пересечение всегда двумерно.
3) a<0. Квадратичная форма в сумме отрицательно определена, поэтому
f1+f2⩽m(a),m(a)=a4(a−4)(a+2),с равенством только в вершине (−aa+4,−a4−4a). Сочетая с необходимым f1+f2⩾0:
Рассмотрим a=−2 подробно. Здесь
f1+f2=−2((x−1)2+(y−6)2)⩽0,причём равенство достигается только в точке (1,6). Если f1⩾0 и f2⩾0, то f1+f2⩾0; вместе с f1+f2⩽0 это даёт f1+f2=0, что возможно лишь в (1,6), и там f1=f2=0. Подстановка: f1(1,6)=−2⋅1−4⋅1+8⋅6−6−36=0, f2(1,6)=8⋅1−2⋅36+16⋅6−36+4=0 — оба неравенства выполняются как равенства. Значит при a=−2 система имеет ровно одно решение (x,y)=(1,6).
При всех остальных a число решений равно 0 или бесконечности. Следовательно, единственное значение параметра — a=−2.