Задача №17993

Найдите все значения параметра $a\text{,}$ при которых разность между корнями уравнения $x^2+5ax+a^4=0$ максимальна.

Рассмотрим уравнение $x^2+5ax+a^4=0\text{.}$ По теореме Виета для его корней $x_1,x_2\text{:}$

Квадрат разности корней:

ОДЗ (условие вещественности корней). Корни существуют (вещественны), когда дискриминант неотрицателен:

На этом множестве разность корней равна

Заметим, что $|x_1-x_2|$ и $g(a)=25a^2-4a^4$ достигают максимума в одних и тех же точках (корень — монотонная функция).

Максимизируем $g(a)=25a^2-4a^4$ на $\left[-\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right]\text{.}$ Производная:

Критические точки: $a=0$ и $a^2=\frac{25}{8}\text{,}$ то есть $a=\pm \frac{5}{2\sqrt{2}}=\pm \frac{5\sqrt{2}}{4}$ (эти точки лежат внутри отрезка, так как $\frac{5\sqrt{2}}{4}\approx 1,768<\frac{5}{2}$).

Сравним значения:

• В точках $a=0$ и на краях $a=\pm \frac{5}{2}$ имеем $g=0\text{,}$ то есть разность корней равна нулю (при $a=0$ и при $a=\pm \frac{5}{2}$ — кратный корень), это минимум.
• В точках $a=\pm \frac{5}{2\sqrt{2}}\text{:}$ $g=25\cdot \frac{25}{8}-4\cdot \frac{625}{64}=\frac{625}{8}-\frac{625}{16}=\frac{625}{16}\text{,}$ откуда $|x_1-x_2|=\frac{25}{4}\text{.}$

Вторая производная $g^{\prime \prime }(a)=50-48a^2\text{;}$ при $a^2=\frac{25}{8}$ получаем $g^{\prime \prime }=50-150=-100<0$ — значит, обе эти точки доставляют максимум.

Итак, разность между корнями максимальна (и равна $\frac{25}{4}$) при $a=\pm \frac{5}{2\sqrt{2}}\text{.}$