Задача №17994

Решите уравнение $\sin 7x\cos 11x=\sin x\cos 5x\text{.}$

Уравнение $\sin 7x\cos 11x=\sin x\cos 5x\text{.}$ Областью определения служит вся числовая прямая (нет знаменателей, корней, логарифмов), поэтому ОДЗ: $x\in \mathbb{R}\text{.}$

Применим формулу $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}(\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta ))$ к обеим частям.

Приравнивая и сокращая слагаемое $-\frac{1}{2}\sin 4x\text{,}$ получаем равносильное уравнение

Перенесём всё влево и разложим разность синусов:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда обращается в нуль хотя бы один множитель.

1) $\sin 6x=0⟺6x=\pi k⟺x=\frac{\pi k}{6},k\in \mathbb{Z}.$

2) $\cos 12x=0⟺12x=\frac{\pi }{2}+\pi k⟺x=\frac{\pi }{24}+\frac{\pi k}{12}=\frac{(2k+1)\pi }{24},k\in \mathbb{Z}.$

Поскольку преобразования были равносильными (формула произведения в сумму и разложение разности синусов — тождества, посторонних корней не вносят, а ОДЗ — вся прямая), обе серии входят в ответ полностью. Серии не пересекаются: для $x=\pi k/6$ величина $24x/\pi =4k$ чётна, а для второй серии $24x/\pi =2k+1$ нечётна, поэтому общих точек нет.

Ответ: