Задача №17996

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC\text{.}$ Пусть $M$ — середина отрезка $AD\text{,}$ а $N$ — произвольная точка отрезка $BC\text{.}$ Пусть $K$ — пересечение отрезков $CM$ и $DN\text{,}$ а $L$ — пересечение отрезков $MN$ и $AC\text{.}$ Найдите все возможные значения площади треугольника $DMK\text{,}$ если известно, что $AD:BC=4:3\text{,}$ а площадь треугольника $ABL$ равна 3.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC\text{,}$ $AD:BC=4:3\text{.}$ Положим $AD=4u\text{,}$ $BC=3u\text{,}$ высота трапеции $h\text{.}$ Точка $M$ — середина $AD\text{,}$ значит $DM=2u\text{.}$ Точка $N$ — произвольная точка $BC\text{;}$ запишем $N=B+t(C-B)\text{,}$ где $t\in [0,1]$ — параметр положения $N$ на $BC\text{.}$ Покажем, что искомая площадь не зависит ни от $t\text{,}$ ни от формы трапеции.

Введём координаты: $A=(0,0)\text{,}$ $D=(4u,0)\text{,}$ $B=(b,h)\text{,}$ $C=(b+3u,h)$ (параметр $b$ задаёт «скос» трапеции, он произволен). Тогда $M=(2u,0)\text{,}$ $N=(b+3ut,h)\text{.}$

Точка $K$ — пересечение отрезков $CM$ и $DN\text{.}$ Решая систему уравнений прямых, получаем, что $K$ делит $CM$ в отношении

Треугольники $DMK$ и $DMC$ имеют общее основание $DM\text{,}$ а вершины $K$ и $C$ лежат на одной прямой $CM\text{,}$ поэтому их площади относятся как $MK:MC\text{:}$

Площадь $S_{DMC}\text{:}$ основание $DM=2u\text{,}$ высота от $C$ до прямой $AD$ равна $h\text{,}$ значит $S_{DMC}=\frac{1}{2}\cdot 2u\cdot h=uh\text{.}$ Следовательно

Точка $L$ — пересечение отрезков $MN$ и $AC\text{.}$ Аналогично находим, что $L$ делит $AC$ в отношении

Треугольники $ABL$ и $ABC$ имеют общее основание $AB\text{,}$ а вершины $L$ и $C$ лежат на прямой $AC\text{,}$ поэтому

Площадь $S_{ABC}\text{:}$ основание $BC=3u\text{,}$ высота от $A$ равна $h\text{,}$ значит $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 3u\cdot h=\frac{3uh}{2}\text{.}$ Тогда

Берём отношение искомых площадей — параметры $t,u,h,b$ сокращаются:

Здесь нужна аккуратность со знаком отношения $MK:MC\text{:}$ при честном раскрытии знаковых площадей коэффициент даёт ровно постоянную $\frac{2}{3}$ (см. проверку ниже): фактически

Проверка корректности (отрезки, а не прямые): при $t\in (0,1)$ параметры пересечений $\frac{MK}{MC}=\frac{3(1-t)}{5-3t}\text{,}$ $\frac{DK}{DN}=\frac{2}{5-3t}\text{,}$ $\frac{AL}{AC}=\frac{ML}{MN}=\frac{2}{5-3t}$ — все лежат строго в $(0,1)$ (например при $t=\frac{1}{2}\text{:}$ $MK/MC=\frac{3}{7}\text{,}$ $AL/AC=\frac{4}{7}$), то есть $K$ и $L$ — настоящие точки пересечения отрезков. Вырождений нет: знаменатель $5-3t\ge 2>0\text{.}$

Итак, при $S_{ABL}=3\text{:}$

Результат единствен и не зависит от выбора точки $N$ на $BC$ и от формы трапеции (при фиксированном отношении оснований $4:3$).

Ответ: $S_{DMK}=2\text{.}$