58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T9a6,Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+3p^4=0$. Для существования (вещественных) корней необходимо, чтобы дискриминант был неотрицателен: \[D=p^2-4\cdot 3p^4=p^2-12p^4=p^2\left(1-12p^2\right)\geqslant 0.\] Так как $p^2\geqslant 0$, это равносильно $1-12p^2\geqslant 0$, то есть $|p|\leqslant\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ (ОДЗ по параметру). Для приведённого уравнения с корнями $x_1,x_2$ разность корней по модулю равна \[|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{D}=\sqrt{p^2-12p^4}.\] (По теореме Виета $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=3p^4$, откуда $(x_1-x_2)^2=p^2-12p^4=D$.) Максимизировать $\sqrt{D}$ при $D\geqslant 0$ — то же, что максимизировать $D(p)=p^2-12p^4$ на отрезке $\left[-\dfrac{\sqrt3}{6},\dfrac{\sqrt3}{6}\right]$. Функция $D$ чётная; на концах отрезка $D=0$, значит максимум — во внутренней критической точке. Дифференцируем: \[D'(p)=2p-48p^3=2p\left(1-24p^2\right)=0\ \Longrightarrow\ p=0\quad\text{или}\quad p^2=\dfrac{1}{24}.\] В точке $p=0$ имеем $D=0$ (минимум разности). В точках $p^2=\dfrac{1}{24}$, то есть $p=\pm\dfrac{1}{2\sqrt6}=\pm\dfrac{\sqrt6}{12}$, получаем \[D=\dfrac{1}{24}-12\cdot\dfrac{1}{24^2}=\dfrac{1}{24}-\dfrac{12}{576}=\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{48}=\dfrac{1}{48}>0,\] что больше значений на концах. Поскольку $D>0$, корни в этих точках вещественны и различны (условие задачи о «разности между корнями» выполнено корректно). Максимальная разность равна \[|x_1-x_2|_{\max}=\sqrt{\dfrac{1}{48}}=\dfrac{1}{4\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{12}.\] Обе точки $p=\pm\dfrac{\sqrt6}{12}$ лежат внутри $\left[-\dfrac{\sqrt3}{6},\dfrac{\sqrt3}{6}\right]$ ($\dfrac{\sqrt6}{12}\approx 0{,}204<\dfrac{\sqrt3}{6}\approx 0{,}289$) и доставляют максимум. Ответ: $p=\pm\dfrac{\sqrt6}{12}$ (при этом максимальная разность корней равна $\dfrac{\sqrt3}{12}$).5c:T55e,Преобразуем обе части по формуле произведения косинусов $\cos A\cos B=\tfrac12\bigl(\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr)$. \[\cos 10x\cos 7x=\frac{1}{2}\bigl(\cos 3x+\cos 17x\bigr),\qquad \cos 4x\cos x=\frac{1}{2}\bigl(\cos 3x+\cos 5x\bigr).\] Подставляя в уравнение, слагаемые $\tfrac12\cos 3x$ сокращаются: \[\cos 10x\cos 7x=\cos 4x\cos x \iff \frac{1}{2}\cos 17x=\frac{1}{2}\cos 5x \iff \cos 17x=\cos 5x.\] ОДЗ всё $\mathbb{R}$: косинус определён при любом $x$, знаменателей и логарифмов нет, поэтому посторонних корней и краёв проверять не требуется — равносильность сохраняется на всей прямой. Равенство $\cos 17x=\cos 5x$ равносильно $17x=\pm 5x+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$: \[17x=5x+2\pi k \iff 12x=2\pi k \iff x=\frac{\pi k}{6},\ k\in\mathbb{Z};\] \[17x=-5x+2\pi n \iff 22x=2\pi n \iff x=\frac{\pi n}{11},\ n\in\mathbb{Z}.\] Ответ — объединение двух серий: \[x=\frac{\pi k}{6},\quad x=\frac{\pi n}{11},\qquad k,n\in\mathbb{Z}.\] (Серии пересекаются лишь в точках $x=\pi m$, $m\in\mathbb{Z}$, что на объединение не влияет.)5d:Tacb,Решаем неравенство $\left(2+\sqrt{3}\right)^{\log_{2-\sqrt{3}}x}\geqslant\left(2-\sqrt{3}\right)^{\log_x\left(2+\sqrt{3}\right)}$. **ОДЗ.** В левой части основание логарифма $2-\sqrt{3}\in(0,1)$ фиксировано и корректно, требуется $x>0$. В правой части стоит $\log_x(2+\sqrt{3})$, значит основание $x>0$, $x\neq 1$. Сами степенные основания $2\pm\sqrt{3}>0$. Итого ОДЗ: $x>0,\ x\neq 1$. **Ключ.** $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1$, поэтому $2-\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{-1}$. Обозначим $a=2+\sqrt{3}>1$, тогда $2-\sqrt{3}=a^{-1}$. **Замена.** Положим $t=\log_a x$; тогда $x=a^{t}$, а условие $x>0,\ x\neq 1$ означает $t\in\mathbb{R},\ t\neq 0$. Пересчитаем логарифмы-показатели: \[\log_{2-\sqrt{3}}x=\log_{a^{-1}}\!\left(a^{t}\right)=\frac{t}{-1}=-t,\qquad \log_x(2+\sqrt{3})=\log_{a^{t}}a=\frac{1}{t}.\] Тогда \[\text{ЛЧ}=a^{\log_{a^{-1}}x}=a^{-t},\qquad \text{ПЧ}=\left(a^{-1}\right)^{\log_x a}=a^{-1/t}.\] Неравенство принимает вид $a^{-t}\geqslant a^{-1/t}$. **Монотонность.** Так как $a=2+\sqrt{3}>1$, функция $a^{u}$ возрастает, поэтому неравенство равносильно сравнению показателей: \[-t\geqslant-\frac{1}{t}\iff \frac{1}{t}-t\geqslant 0\iff \frac{1-t^{2}}{t}\geqslant 0.\] **Метод интервалов** для $\dfrac{(1-t)(1+t)}{t}\geqslant 0$ при $t\neq 0$: нули числителя $t=\pm1$, разрыв $t=0$. Знаки: $t<-1$ даёт $+$; $-11$ даёт $-$. С учётом нестрогости (нули числителя включаем, разрыв исключаем): \[t\in(-\infty,-1]\cup(0,1].\] **Обратная замена** $x=a^{t}$ (возрастает по $t$, $a>1$): - $t\in(-\infty,-1]\Rightarrow x\in\left(0,\,a^{-1}\right]=\left(0,\,2-\sqrt{3}\,\right]$ (при $t\to-\infty$ $x\to 0^{+}$; при $t=-1$ $x=a^{-1}=2-\sqrt{3}$); - $t\in(0,1]\Rightarrow x\in\left(1,\,a\right]=\left(1,\,2+\sqrt{3}\,\right]$ (при $t\to0^{+}$ $x\to1^{+}$; при $t=1$ $x=a=2+\sqrt{3}$). Точка $x=1$ (т.е. $t=0$) исключена ОДЗ и попадает в разрыв — посторонний край отсечён корректно. Концы $x=2-\sqrt{3}$ и $x=2+\sqrt{3}$ дают равенство (включены). **Ответ:** $x\in\left(0,\,2-\sqrt{3}\,\right]\cup\left(1,\,2+\sqrt{3}\,\right]$.5e:Tf35,Введём систему координат: положим $AD$ на оси абсцисс, $AD:BC=5:2$, поэтому удобно взять $AD=5$, $BC=2$. Тогда $A=(0,0)$, $D=(5,0)$, $M=\left(\tfrac{5}{2},0\right)$ — середина $AD$. Верхнее основание лежит на прямой $y=h$ ($h>0$): $B=(b,h)$, $C=(b+2,h)$, так что $BC=2$ и $BC\parallel AD$. Точка $N$ — произвольная на $BC$: $N=B+t(C-B)$, где $t\in[0,1]$. Тогда $CN=(1-t)\cdot BC$. **Точка ** $K=CM\cap DN$. Отрезки $DM$ (на основании $AD$) и $CN$ (на основании $BC$) лежат на параллельных прямых, причём расположены по разные стороны от точки пересечения диагоналей этих отрезков; прямые $CM$ и $DN$ пересекаются в $K$. Треугольники $KDM$ и $KNC$ подобны (накрест лежащие углы при параллельных $DM\parallel NC$ и пара вертикальных углов), с коэффициентом \[\frac{DM}{NC}=\frac{5/2}{2(1-t)}=\frac{5}{4(1-t)}.\] Высота треугольника $DMK$, опущенная на основание $DM$ (то есть расстояние от $K$ до прямой $AD$), в силу подобия равна $\dfrac{DM}{DM+NC}\,h$. Прямое вычисление даёт \[S_{DMK}=\frac{1}{2}\cdot DM\cdot \frac{DM}{DM+NC}\,h=\frac{25\,h}{4\,(9-4t)}.\] **Точка ** $L=MN\cap AC$. Найдём площадь треугольника $ABL$. Заметим, что $L$ лежит на отрезке $AC$, и \[S_{ABL}=\frac{AL}{AC}\,S_{ABC}.\] Площадь $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\,BC\cdot h=h$ (основание $BC=2$, высота $h$). Параметр точки $L$ вдоль $A\to C$ равен $\dfrac{AL}{AC}=\dfrac{5}{9-4t}$ (получается из пересечения прямых $MN$ и $AC$). Следовательно, \[S_{ABL}=\frac{5}{9-4t}\cdot h=\frac{5h}{9-4t}.\] **Связь площадей.** Сравнивая два выражения, при любом положении точки $N$ (любое $t$) и при любой форме трапеции (любые $b,h$) получаем постоянное отношение \[\frac{S_{ABL}}{S_{DMK}}=\frac{5h/(9-4t)}{25h/(4(9-4t))}=\frac{5h}{9-4t}\cdot\frac{4(9-4t)}{25h}=\frac{4}{5}.\] Отношение не зависит ни от $t$, ни от $b,h$. Поэтому при условии $S_{DMK}=5$ однозначно \[S_{ABL}=\frac{4}{5}\cdot S_{DMK}=\frac{4}{5}\cdot 5=4.\] **Проверка корректности конфигурации (края/посторонние значения).** При $t\in[0,1]$ знаменатель $9-4t>0$, все длины и площади положительны и конечны; деления на нуль не возникает. Параметры точек пересечения вдоль соответствующих отрезков лежат строго в $(0,1)$ (например, при $t=\tfrac12$: $CK:KM$ и $DK:KN$, $AL:LC$ дают значения в $(0,1)$), то есть $K$ и $L$ — действительно внутренние точки пересечения именно отрезков $CM,DN$ и $MN,AC$, как требует условие. Случай $N=B$ ($t=0$) и $N=C$ ($t=1$) также допустим и даёт то же отношение $4/5$. Других возможных значений нет. Итого: единственное возможное значение площади треугольника $ABL$ равно $4$.5f:Td27,Обозначим левые части неравенств: \[f_1(x,y)=px^2+6px-12y+11p+18,\qquad f_2(x,y)=py^2-2py-12x+3p-30.\] Система требует одновременно $f_1\leqslant 0$ и $f_2\leqslant 0$, поэтому любое решение обязано удовлетворять следствию $f_1+f_2\leqslant 0$. Выделим полные квадраты в сумме: \[f_1+f_2=p\bigl[(x+3)^2+(y-1)^2\bigr]-12x-12y+4p-12.\] **Случай $p>0$.** Функция $f_1+f_2$ — параболоид (выпукла), её минимум по $x,y$ достигается в точке $x_0=-3+\dfrac{6}{p},\ y_0=1+\dfrac{6}{p}$ и равен \[\min_{x,y}(f_1+f_2)=4p+12-\frac{72}{p}=\frac{4(p-3)(p+6)}{p}.\] При $p>0$ знак минимума определяется множителем $p-3$. $\bullet$ Если $p>3$, то $\min(f_1+f_2)>0$, значит $f_1+f_2>0$ всюду и система **не имеет решений**. $\bullet$ Если $p=3$, сумма сворачивается в полный квадрат: \[f_1+f_2\Big|_{p=3}=3(x+1)^2+3(y-3)^2\geqslant 0,\] причём равенство нулю возможно лишь в единственной точке $(x,y)=(-1,3)$. Но из $f_1\leqslant 0$ и $f_2\leqslant 0$ следует $f_1+f_2\leqslant 0$, а так как $f_1+f_2\geqslant 0$, получаем $f_1+f_2=0$, то есть $(x,y)=(-1,3)$. Прямая подстановка даёт $f_1(-1,3)=0$ и $f_2(-1,3)=0$, оба неравенства выполнены (как равенства). Значит при $p=3$ система имеет **ровно одно решение** $(-1,3)$. $\bullet$ Если $00,\ \cos y>0,\ \sin(x+y)>0$) числа: \[a=\frac{\sqrt5\cos y}{2\sin(x+y)},\qquad b=\frac{2\cos x}{3\cos y},\qquad c=\frac{\sin(x+y)}{7\sqrt5\cos x}.\] Минимизируемое выражение есть $E=(a+1)(b+1)^2(c+1)^4$. **Ключевое наблюдение.** Перемножая, переменные части сокращаются: \[abc=\frac{\sqrt5\cos y}{2\sin(x+y)}\cdot\frac{2\cos x}{3\cos y}\cdot\frac{\sin(x+y)}{7\sqrt5\cos x}=\frac{1}{2\cdot3\cdot7}=\frac{1}{21}.\] Итак, $abc=\frac1{21}$ *постоянно* при всех допустимых $x,y$. Поскольку при двух свободных параметрах $x,y$ можно независимо задать любые два из чисел $a,b,c$ (третье определяется связью), задача сводится к минимизации \[E=(a+1)(b+1)^2(c+1)^4\quad\text{при условии}\quad a,b,c>0,\ abc=\tfrac1{21}.\] **Минимизация при связи.** Минимизируем $\ln E=\ln(a+1)+2\ln(b+1)+4\ln(c+1)$ при $\ln a+\ln b+\ln c=\mathrm{const}$. Метод множителей Лагранжа даёт \[\frac{1}{a+1}=\frac{\lambda}{a},\quad \frac{2}{b+1}=\frac{\lambda}{b},\quad \frac{4}{c+1}=\frac{\lambda}{c},\] откуда $a=\dfrac{\lambda}{1-\lambda},\ b=\dfrac{\lambda}{2-\lambda},\ c=\dfrac{\lambda}{4-\lambda}$. Подставляя в $abc=\frac1{21}$, получаем уравнение, единственный корень которого в нужной области $\lambda=\frac12$; тогда \[a=1,\qquad b=\tfrac13,\qquad c=\tfrac17,\qquad abc=1\cdot\tfrac13\cdot\tfrac17=\tfrac1{21}\ \checkmark.\] Это единственная критическая точка; при стремлении любого из $a,b,c$ к $0^+$ или к $+\infty$ (что вынуждает другой множитель к бесконечности) имеем $E\to+\infty$, поэтому найденная точка даёт глобальный минимум. Значение минимума: \[E_{\min}=(1+1)\left(\tfrac13+1\right)^2\left(\tfrac17+1\right)^4=2\cdot\frac{16}{9}\cdot\frac{4096}{2401}=\frac{131072}{21609}.\] **Возврат к $x,y$.** Условия $a=1,\ b=\frac13,\ c=\frac17$ дают \[\sqrt5\cos y=2\sin(x+y),\qquad 2\cos x=\cos y,\qquad \sin(x+y)=\sqrt5\cos x.\] Из второго и третьего: подставляя $\cos y=2\cos x$ и $\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y=2\sin x\cos x+\cos x\sin y$, после деления на $\cos x>0$ получаем систему \[\cos y=2\cos x,\qquad 2\sin x+\sin y=\sqrt5.\] Её единственное решение в $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)^2$: \[x=\operatorname{arctg}2,\qquad y=\operatorname{arctg}\tfrac12,\] причём $x+y=\frac{\pi}{2}$. Прямая подстановка: $\cos x=\frac1{\sqrt5},\ \sin x=\frac2{\sqrt5},\ \cos y=\frac2{\sqrt5},\ \sin y=\frac1{\sqrt5},\ \sin(x+y)=1$, откуда \[a=\frac{\sqrt5\cdot\frac2{\sqrt5}}{2\cdot1}=1,\quad b=\frac{2\cdot\frac1{\sqrt5}}{3\cdot\frac2{\sqrt5}}=\frac13,\quad c=\frac{1}{7\sqrt5\cdot\frac1{\sqrt5}}=\frac17,\] что подтверждает достижение минимума $\dfrac{131072}{21609}$ именно в этой точке (другой корень системы, $x=\pi-\operatorname{arctg}2,\ y=\pi-\operatorname{arctg}\frac12$, лежит вне $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ и отбрасывается). **Ответ.** Минимум $\dfrac{131072}{21609}$ достигается в единственной паре $\left(x,y\right)=\left(\operatorname{arctg}2,\ \operatorname{arctg}\tfrac12\right)$.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"ДВИ МГУ 2018 — вариант 2\",\"description\":\"Коллекция \\\"ДВИ МГУ 2018 — вариант 2\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 8 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/dvi-math-2018-v2\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T10:00:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"ДВИ МГУ 2018 — вариант 2\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ 2018 — вариант 2-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"ДВИ МГУ 2018 — вариант 2"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"dvi-math-2018-v2","serverCollection":{"id":"cd4ce5f8-66a6-4a7b-ac00-abed537e76f8","name":"ДВИ МГУ 2018 — вариант 2","code":"dvi-math-2018-v2","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"hidden_problem_count":0,"solved_count":0,"source":"ЦПК МГУ / мехмат","source_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math.pdf","total_problem_count":8,"variant_batch":"dvi-2011-2019-v1","variant_label":"июль 2018 года, вариант 2","visible_problem_count":8,"year":2018},"created_at":"2026-06-10T10:00:00Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem_count":8,"visible_count":8,"total_count":8,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"03268ffa-e72d-427f-b2d5-bf3610e2ac25","collection_id":"cd4ce5f8-66a6-4a7b-ac00-abed537e76f8","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"03268ffa-e72d-427f-b2d5-bf3610e2ac25","short_id":17984,"task_number":14,"topic_id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":2,"content_text":"Какое из чисел \$\\dfrac{49}{32}\$ и \$\\dfrac{59}{24}\$ ближе к 2?","answer_text":"Второе","answer":"Второе","solution_text":"Сравним расстояния от каждого числа до 2.\n\n\\[\\left|2-\\dfrac{49}{32}\\right|=\\left|\\dfrac{64-49}{32}\\right|=\\dfrac{15}{32},\\qquad \\left|2-\\dfrac{59}{24}\\right|=\\left|\\dfrac{59-48}{24}\\right|=\\dfrac{11}{24}.\\]\n\nПриведём обе дроби к общему знаменателю \$96\$:\n\n\\[\\dfrac{15}{32}=\\dfrac{45}{96},\\qquad \\dfrac{11}{24}=\\dfrac{44}{96}.\\]\n\nТак как \$\\dfrac{44}{96}<\\dfrac{45}{96}\$, то \$\\left|2-\\dfrac{59}{24}\\right|<\\left|2-\\dfrac{49}{32}\\right|\$, то есть к числу \$2\$ ближе \$\\dfrac{59}{24}\$.\n\nОДЗ/края: обе величины — конкретные рациональные числа, никаких ограничений или посторонних случаев нет; сравнение модулей корректно (оба знаменателя положительны).","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":1,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 2","variant_key":"2018-v2","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"a4c5b1b9-850a-422b-b0b4-723ad67fab1c","name":"Вычисления и оценки","description":null},"tags":[{"id":"31d4e4b7-a2c1-4cbd-85ff-1aa0dec4e314","code":"tag-45","name":"Сравнение чисел"},{"id":"a2b4e925-7b33-4fc8-aeb6-0a8f03dd4256","code":"tag-147","name":"Дроби, проценты, рациональные числа"}]}},{"problem_id":"48a1eaa6-137a-4a52-bcc5-46e04ffe3944","collection_id":"cd4ce5f8-66a6-4a7b-ac00-abed537e76f8","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"48a1eaa6-137a-4a52-bcc5-46e04ffe3944","short_id":17985,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Найдите все значения параметра \$p\$, при которых разность между корнями уравнения \$x^2+px+3p^4=0\$ максимальна.","answer_text":"\$p = \\pm\\dfrac{1}{2\\sqrt{6}}\$","answer":"\$p = \\pm\\dfrac{1}{2\\sqrt{6}}\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":2,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 2","variant_key":"2018-v2","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"0d415d8d-9948-4dac-b334-754c0dd54013","code":"tag-9","name":"Расположение корней квадратного трехчлена"},{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"}]}},{"problem_id":"eaa62d06-67dd-4c1d-9e24-a5a6e50147ee","collection_id":"cd4ce5f8-66a6-4a7b-ac00-abed537e76f8","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"eaa62d06-67dd-4c1d-9e24-a5a6e50147ee","short_id":17986,"task_number":17,"topic_id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решите уравнение \$\\cos 10x\\cos 7x=\\cos 4x\\cos x\$.","answer_text":"\$x = \\dfrac{k\\pi}{6},\\ \\dfrac{k\\pi}{11},\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$x = \\dfrac{k\\pi}{6},\\ \\dfrac{k\\pi}{11},\\ k\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":3,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 2","variant_key":"2018-v2","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"56ee582a-3c52-4fd3-85c9-966671ec7454","name":"Тригонометрические уравнения","description":null},"tags":[{"id":"37945dd4-6787-495c-a3b9-4524691f6dd7","code":"tag-51","name":"Тригонометрические формулы для произведения функций"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"}]}},{"problem_id":"f9bcae56-3591-4a91-96db-7de1fb80b42d","collection_id":"cd4ce5f8-66a6-4a7b-ac00-abed537e76f8","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"f9bcae56-3591-4a91-96db-7de1fb80b42d","short_id":17987,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Решите неравенство \$\\left(2+\\sqrt{3}\\right)^{\\log_{2-\\sqrt{3}}x}\\geqslant\\left(2-\\sqrt{3}\\right)^{\\log_x\\left(2+\\sqrt{3}\\right)}.\$","answer_text":"\$x \\in \\left(0,2-\\sqrt{3}\\,\\right]\\cup\\left(1,2+\\sqrt{3}\\,\\right]\$","answer":"\$x \\in \\left(0,2-\\sqrt{3}\\,\\right]\\cup\\left(1,2+\\sqrt{3}\\,\\right]\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":4,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 2","variant_key":"2018-v2","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"a13da04a-1585-4241-aa6f-14021c064334","code":"tag-145","name":"Неравенства с логарифмами по переменному основанию"},{"id":"f69451d0-02df-42b8-a45e-481a03558513","code":"tag-234","name":"Логарифм произведения, частного, степени"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"9971d6da-4816-477a-8b1a-42fa94c58d56","collection_id":"cd4ce5f8-66a6-4a7b-ac00-abed537e76f8","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"9971d6da-4816-477a-8b1a-42fa94c58d56","short_id":17988,"task_number":18,"topic_id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Дана трапеция \$ABCD\$ с основаниями \$AD\$ и \$BC\$. Пусть \$M\$ — середина отрезка \$AD\$, а \$N\$ — произвольная точка отрезка \$BC\$. Пусть \$K\$ — пересечение отрезков \$CM\$ и \$DN\$, а \$L\$ — пересечение отрезков \$MN\$ и \$AC\$. Найдите все возможные значения площади треугольника \$ABL\$, если известно, что \$AD:BC=5:2\$, а площадь треугольника \$DMK\$ равна 5.","answer_text":"\$4\$","answer":"\$4\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":5,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 2","variant_key":"2018-v2","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"0697f7ce-4fac-4fbe-acae-f2959cd6e3c5","name":"Подобие и площади","description":null},"tags":[{"id":"0d5fdf8a-7b8f-41ed-9e90-56f1f2ffe049","code":"tag-10","name":"Замечательное свойство трапеции"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a1e9cba9-7ee1-4f19-a92d-5b6033d1395a","code":"tag-146","name":"Трапеция"},{"id":"a7109bee-7556-446b-98b9-32d957694fec","code":"tag-155","name":"Подобие"}]}},{"problem_id":"facfda0d-9580-4eea-824e-a93f946fc153","collection_id":"cd4ce5f8-66a6-4a7b-ac00-abed537e76f8","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"facfda0d-9580-4eea-824e-a93f946fc153","short_id":17989,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найдите все значения параметра \$p\$, при которых система\n\\[\\begin{cases}px^2+6px-12y+11p+18\\leqslant 0\\\\ py^2-2py-12x+3p-30\\leqslant 0\\end{cases}\\]\nимеет ровно одно решение.","answer_text":"\$p = 3\$","answer":"\$p = 3\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":6,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 2","variant_key":"2018-v2","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"378ecccb-5211-4448-b874-8f22ba33c931","code":"tag-50","name":"Квадратные неравенства"},{"id":"aa6e8219-4309-468c-bb4a-3b6f64ef9c5e","code":"tag-157","name":"Системы с параметром"},{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"}]}},{"problem_id":"f72ffcdd-1a49-4a1f-95ba-9ffe68c33784","collection_id":"cd4ce5f8-66a6-4a7b-ac00-abed537e76f8","display_order":7,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"f72ffcdd-1a49-4a1f-95ba-9ffe68c33784","short_id":17990,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Дан прямоугольный параллелепипед \$ABCDA'B'C'D'\$ с боковыми рёбрами \$AA'\$, \$BB'\$, \$CC'\$, \$DD'\$. На рёбрах \$AB\$, \$BC\$, \$CD\$, \$DA\$ нижнего основания отмечены соответственно точки \$K\$, \$L\$, \$M\$, \$N\$, таким образом, что \$AK:KB=7:9\$, \$BL:LC=2:1\$, \$CM:MD=3:1\$, \$DN:NA=2:1\$. Пусть \$P\$, \$Q\$, \$R\$ — центры сфер, описанных около тетраэдров \$AKNA'\$, \$BLKB'\$, \$CMLC'\$, соответственно. Найдите \$PQ\$, если известно, что \$QR=1\$ и \$AB:BC=4:3\$.","answer_text":"\$4/3\$","answer":"\$4/3\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":7,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 2","variant_key":"2018-v2","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"c7a9f11c-aee5-4ebf-811d-3d1a226c0716","code":"tag-188","name":"Описанный шар"},{"id":"d32e29f3-03cd-4611-a30a-5cd040c54cdd","code":"tag-198","name":"Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве"},{"id":"fc410a00-792e-42cc-97d3-9408df44ef53","code":"tag-241","name":"Прямоугольный параллелепипед"}]}},{"problem_id":"f5270787-d65b-4368-9f75-6c060b7cf913","collection_id":"cd4ce5f8-66a6-4a7b-ac00-abed537e76f8","display_order":8,"metadata":{},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","problem":{"id":"f5270787-d65b-4368-9f75-6c060b7cf913","short_id":17991,"task_number":19,"topic_id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":9,"content_text":"Найдите все пары чисел \$x,y\$ из промежутка \$\\left(0,\\frac{\\pi}{2}\\right)\$, при которых достигается минимум выражения\n\\[\\left(\\frac{\\sqrt{5}\\cos y}{2\\sin(x+y)}+1\\right)\\left(\\frac{2\\cos x}{3\\cos y}+1\\right)^2\\left(\\frac{\\sin(x+y)}{7\\sqrt{5}\\cos x}+1\\right)^4.\\]","answer_text":"\$x = \\arcsin\\dfrac{2}{\\sqrt{5}},\\ y = \\arcsin\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}\$","answer":"\$x = \\arcsin\\dfrac{2}{\\sqrt{5}},\\ y = \\arcsin\\dfrac{1}{\\sqrt{5}}\$","solution_text":"$61","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"dvi":true,"ingest_batch":"dvi-2011-2019-v1","position_in_variant":8,"solution_origin":"sdamex-agents","solutions_url":"https://cpk.msu.ru/files/2018/tasks/math_solutions.pdf","variant":"июль 2018 года, вариант 2","variant_key":"2018-v2","year":2018},"created_at":"2026-06-11T07:12:42.961126Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"e463f8eb-fd15-4d94-acb7-4092de9c6b54","name":"Экстремальные задачи и оценки","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"e505916c-c20a-4e24-b7cc-04fdbdd28d69","code":"tag-221","name":"Наименьшее, наибольшее значение функции во внутренней точке отрезка"}]}}],"total":8},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ