Найдите все значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения x2+px+3p4=0 максимальна.
Рассмотрим квадратное уравнение x2+px+3p4=0. Для существования (вещественных) корней необходимо, чтобы дискриминант был неотрицателен:
D=p2−4⋅3p4=p2−12p4=p2(1−12p2)⩾0.Так как p2⩾0, это равносильно 1−12p2⩾0, то есть ∣p∣⩽231=63 (ОДЗ по параметру).
Для приведённого уравнения с корнями x1,x2 разность корней по модулю равна
∣x1−x2∣=(x1+x2)2−4x1x2=D=p2−12p4.(По теореме Виета x1+x2=−p, x1x2=3p4, откуда (x1−x2)2=p2−12p4=D.)
Максимизировать D при D⩾0 — то же, что максимизировать D(p)=p2−12p4 на отрезке [−63,63]. Функция D чётная; на концах отрезка D=0, значит максимум — во внутренней критической точке. Дифференцируем:
D′(p)=2p−48p3=2p(1−24p2)=0 ⟹ p=0илиp2=241.В точке p=0 имеем D=0 (минимум разности). В точках p2=241, то есть p=±261=±126, получаем
D=241−12⋅2421=241−57612=241−481=481>0,что больше значений на концах. Поскольку D>0, корни в этих точках вещественны и различны (условие задачи о «разности между корнями» выполнено корректно). Максимальная разность равна
∣x1−x2∣max=481=431=123.Обе точки p=±126 лежат внутри [−63,63] (126≈0,204<63≈0,289) и доставляют максимум.
Ответ: p=±126 (при этом максимальная разность корней равна 123).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
ДВИ МГУ